Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2016.1, Questão 3

Calcule o fluxo do campo vetorial

F x , y , z = 2 x z , y , - z 2 - z

Através da superfície S definida por

y = 1 4 - x 2 - z 2

Com campo vetorial normal n tendo componente y positiva.

Passo 1

A superfície S é quase uma esfera, mas na verdade é só parte dela, mais especificamente, a parte com y 0 :

Mas o campo parece meio chato, ainda mais se tentassemos meter uma parametrização esférica aí.. Mas se tentarmos aplicar Gauss, vemos que o divergente:

div F = 2 x z x + y y + - z 2 - z z = 2 z + 1 - 2 z - 1 = 0

Então parece uma ótima ideia. Só que Gauss só pode ser usado em superfícies fechadas, né?

Mas isso não é problema, é só nós mesmos fecharmos a superfíe! Nesse caso, a forma mais fácil pra isso parece ser criar uma superfície S 1 sendo o plano y = 0 , com normal com y negativo, para respeitarmos a orientação. Aí vamos ter:

W F d S = W div F d V

Mas já vimos que o divergente é 0 entaõ vai ficar:

S F d S + S 1 F d S = 0

S F d S = - S 1 F d S

Bem, saímos de calcular uma integral sobre um pedaco de esfera, para calcularmos a integra sobre o plano, acho que melhorou já, né? Vamos ver se da pra resolver mesmo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer é calcular uma integral de superfície vetorial, entaõ vamos usar a fórmula:

S 1 F d S = D F φ u , v N u , v d u d v

Então primeiro de tudo vamos parametrizar nosso plano, que fica, simplesmente:

S 1 : φ x , z = x , 0 , z

Com domínio sendo circulo no plano x z :

D : x 2 + z 2 = 1 4

E o normal, por ser no plano x z , vai ser:

N x , z = 0 , - 1,0

Com orientação negativa, como tinhamos dito lá em cima.

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula e vamos ter:

D F φ x , z N x , z d x d z = D 2 x z , 0 , - z 2 - z 0 , - 1,0 d x d z

D 0 + 0 + 0 d x d z = 0

E como tinhamos visto na relação lá em cima:

S F d S = - S 1 F d S = 0

Tudo isso pra dar zero, sério mesmo?

Resposta

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