Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 306-2.

Calcule S F n d S , onde F x   , y ,   z = ( x ,   - 2 y + e x c o s z ,   z + x 2 ) e S   é definida por:

z = 9 - x 2 + y 2     ,               0 z 5 z = 5     ,                                       1 x 2 + y 2 4 z = 8 - 3 x 2 + y 2   ,       x 2 + y 2 1

Com campo de vetores normais exterior a S .

Passo 1

Vamos fazer um desenho da imagem somente para entender melhor o problema!

Fica mais fácil de visualizar o que precisamos fazer!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A superfície S não inclui a base do sólido, o disco x 2 + y 2 9 com a normal desta base apontando para fora do sólido, ou seja, na direção negativa do eixo z . Logo, teremos,

S 1   F . n   d S + S   F . n   d S = W   F   d V

Onde, W é o sólido fechado, S 1 é a “tampa” do sólido e W é a superfície original. Vamos começar calculando o divergente do campo:

F =   F 1 x +   F 2 y + F 3 z

F = 1 + - 2 + 1 = 0

Assim,

W   F   d V = 0

Passo 3

Desta forma, pelo Teorema de Gauss, temos:

S 1   F . n   d S + S   F . n   d S = 0

S   F . n   d S =   - S 1   F . n   d S

Ou seja, para calcular o que pede o enunciado, basta calcular o fluxo que passa pela base. A base é o plano x y limitado pela circunferência x 2 + y 2 9 .

Passo 4

Parametrizando a base, temos:

φ x ,   y = ( x ,   y ,   0 )

Como a normal de uma parametrização explícita é:

n = - f x   , - f y ,   1

Para a orientação no sentido negativo de z ,

n = 0   , 0 ,   - 1

Passo 5

Assim, podemos calcular o fluxo na base do sólido,

S 1   F . n   d S =   S 1   x ,   - 2 y + e x c o s z ,   z + x 2 0 ,   0 ,   - 1 d x d y

S 1   F . n   d S =   S 1   - x 2 d x d y

Para resolver esta integral, vamos usar as coordenadas polares,

x = r c o s θ y = r s e n θ

S 1   F . n   d S = 0 2 π 0 3 ( - r 2 cos 2 θ ) r d r d θ =   0 2 π 0 3 ( - r 3 cos 2 θ ) d r d θ

S 1   F . n   d S = 0 2 π cos 2 θ - r 4 4 0 3 d θ =   - 81 4 0 2 π cos 2 θ d θ

S 1   F . n   d S = - 81 4 0 2 π 1 + c o s 2 θ 2 d θ  

S 1   F . n   d S =   - 81 4 θ 2 + s e n 2 θ 4 0 2 π =   - 81 4 2 π 2

S 1   F . n   d S =   - 81 π 4

Resposta

Assim, o fluxo

S   F . n   d S =   - S 1   F . n   d S

S   F . n   d S = 81 π 4

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas