Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Calculo 3 – UFPE – 2° EE

Considere o campo de vetores F x , y , z = x 4 z , - x 3 z 2 , 4 x y 2 z e a superfície S que é a parte do paraboloide z = 9 - x 2 + y 2 que está acima do plano z = 8 .

  1. Calcule o divergente de F .
  2. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F através da superfície S , i.e calcular

∬ S F ⋅ n → d S

Usando o Teorema da Divergência. Lembre que n → é o campo normal unitário de S com a última coordenada positiva.

Passo 1

Começaremos determinando o divergente de F . Existe uma dica bem legal para relembrarmos como calcular o divergente: basta fazermos um produto interno entre o vetor gradiente com F .

Como assim? Produto interno de quem com quem? Bom, vejamos abaixo:

D i v F = ∇ ⋅ F = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ x 4 z , - x 3 z 2 , 4 x y 2 z

Agora, basta multiplicarmos a primeira coordenada de cada vetor e somar com o produto da segunda coordenada e com o da terceira coordenada. Portanto,

D i v F = ∂ ∂ x x 4 z + ∂ ∂ y - x 3 z 2 + ∂ ∂ z 4 x y 2 z

Lembrando, ao calcularmos as derivadas parciais, consideramos as outras variáveis como constantes! Continuando, temos:

D i v F = 4 x 3 z + 0 + 4 x y 2

D i v F = 4 x 3 z + 4 x y 2

Pronto, calculamos o divergente do nosso campo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de utilizarmos o Teorema da Divergência, vamos relembrar o que ele nos diz! De uma forma resumida, ele afirma que o fluxo de um campo vetorial sobre uma determinada superfície corresponde a integral do divergente da função F na região E cuja fronteira é a região S ' .

Se escrevermos matematicamente o que a definição nos diz, temos:

∬ S ' F ⋅ n → d S = ∭ E D i v F d V

E aí acontece um pequeno problema que temos que considerar. A superfície que queremos calcular o fluxo é a superfície do paraboloide. Só que a região E que obtemos é delimitada por cima por esta superfície e a abaixo por outra, o plano z = 8 .

Portanto, ao calcularmos este divergente, vamos obter o resultado que consiste tanto da nossa superfície S , quanto da superfície D ' = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 1 , z = 8 , que consiste na parte do plano z = 8 cujo bordo é obtido pela interseção do plano com o paraboloide.

Portanto, escrevemos a definição do Teorema da Divergência por:

∬ S F ⋅ n → d S + ∬ D ' F ⋅ n → d S = ∭ E D i v F d V

∬ S F ⋅ n → d S = ∭ E D i v F d V - ∬ D ' F ⋅ n → d S

Então, temos que calcular uma integral tripla e uma integral dupla para podermos resolver o nosso problema.

Passo 3

A chave para a resolução de ambas integrais está em relembrar as propriedades de integração. Ao integrarmos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado desta integral é igual a 0. Em uma única variável, seria escrever:

∫ - a a f x d x = 0

Mas o que é uma função ímpar? Ela é uma função que satisfaz f x = - f - x . Lembra do gráfico da função sen ⁡ x ? É semelhante ao que ali acontece.

Bom, vamos para o cálculo da nossa integral tripla. Substituindo o valor do divergente calculado anteriormente, temos:

∭ E 4 x 3 z + 4 x y 2 d V

Lembrando que a nossa região E é limitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano, e a projeção desse sólido no plano x y forma a região D = x , y ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1 , então, podemos escrever a integral da seguinte forma:

∭ E 4 x 3 z + 4 x y 2 d V = ∬ D ∫ 8 9 - x 2 + y 2 4 x 3 z + 4 x y 2 d z d A

Integrando em relação a z , vamos obter:

∬ D 4 x 3 z 2 2 8 9 - x 2 + y 2 + 4 x y 2 z 8 9 - x 2 + y 2 d A

∬ D 2 x 3 9 - x 2 + y 2 2 - 64 + 4 x y 2 9 - x 2 + y 2 - 8 d A

Se a gente reorganiza o nosso integrando, temos:

∬ D 2 x 3 9 - x 2 + y 2 2 - 128 x 3 + 4 x y 2 1 - x 2 + y 2 d A

Bom, agora que entra aquela questão da função ser ímpar. Como a nossa região D é simétrica tanto em relação a x quanto a y (basta verificarmos que é um círculo centrado na origem), se nós conseguirmos verificar que a função é ímpar em relação a x ou a y , a nossa integral automaticamente é nula.

E é possível verificar que a função é ímpar em relação a x . Basta ver que os expoentes ímpares do x que multiplica cada um dos termos. Entretanto, vamos verificar pela definição que toda a função é ímpar. Logo,

f - x , y = 2 - x 3 9 - - x 2 + y 2 2 - 128 - x 3 + 4 - x y 2 1 - - x 2 + y 2

f - x , y = - 2 x 3 9 - x 2 + y 2 2 + 128 x 3 - 4 x y 2 1 - x 2 + y 2

f - x , y = - 2 x 3 9 - x 2 + y 2 2 - 128 x 3 + 4 x y 2 1 - x 2 + y 2

f - x , y = - f x , y

Multiplicando por menos 1, temos:

f x , y = - f - x , y

E assim confirmamos que é uma função ímpar. E a sua integral se torna:

∬ D 2 x 3 9 - x 2 + y 2 2 - 128 x 3 + 4 x y 2 1 - x 2 + y 2 d A = 0

Logo,

∭ E D i v F d V = 0

Passo 4

Agora, temos que calcular a seguinte integral dupla:

∬ D ' F ⋅ n → d S

Lembrando que a superfície D ' = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 1 , z = 8 , que consiste na parte do plano z = 8 cujo bordo é obtido pela interseção do plano com o paraboloide.

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano z = 8 . Ele pode ser tanto o vetor 0,0 , 1 quanto o 0,0 , - 1 . Mas como queremos manter a definição do Teorema da Divergência, cuja orientação é positiva (para fora do sólido E ), vamos obter o vetor 0,0 , - 1 . Portanto, nossa integral dupla se torna:

∬ D ' x 4 z , - x 3 z 2 , 4 x y 2 z ⋅ 0,0 , - 1 d S = ∬ D ' - 4 x y 2 z d S

Como z = 8 , temos:

∬ D ' - 32 x y 2 d S

A superfície D ' é uma região circular centrada na origem. Logo, é simétrica em relação a x e a y . Basta verificarmos quem é o termo diferencial d S . Podemos escrevê-lo através da seguinte relação:

d S = | n → | d A

Como a norma do vetor normal é unitária, então, d S = d A . Portanto,

∬ D ' - 32 x y 2 d S = ∬ D ' - 32 x y 2 d A

Agora, basta checar se f x , y = - 32 x y 2 é ímpar. E isto é claramente observado pois o expoente do termo x é um expoente ímpar. Portanto, função ímpar integrada em intervalo simétrico é igual a 0. Logo,

∬ D ' - 32 x y 2 d A = 0

E consequentemente, o fluxo de F sobre a superfície do paraboloide é:

∬ S F ⋅ n → d S = ∭ E D i v F d V - ∬ D ' F ⋅ n → d S

∬ S F ⋅ n → d S = 0 - 0 = 0

E assim finalizamos a questão.

Resposta

  1. O divergente é dado por
  2. D i v F = 4 x 3 z + 4 x y 2

  3. A integral é dada por:

∬ S F ⋅ n → d S = 0 - 0 = 0

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