Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 307-9.

Considere a superfície S obtida girando-se o segmento de reta que liga os pontos ( 1,0 , 1 ) e ( 0,0 , 3 ) em torno do eixo z . Calcule:

S   r o t F n d S

Onde n é o campo dos vetores normais exterior a S e F é um campo vetorial em R 3 definido por:

F = - y 3 3 + z e x , x 3 3 - cos y z , x y

Passo 1

Reparando que os pontos estão ambos no plano y = 0   ( x z ) , desenhamos a superfície:

Podemos fecha-la por uma tampa S ' , tal que fechemos o sólido W . S ' é definida por:

x 2 + y 2 1

z = 1

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Passo 2

Calculando o rotacional do campo:

r o t F = i j k x y z - y 3 3 + z e x x 3 3 - cos y z x y = x - y s e n y z , e x - y , x 2 + y 2

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss, sabemos que:

W   r o t F n d S = s   r o t F n d S + b a s e   r o t F n d S = W   d i v r o t F d W

Calculando o divergente de r o t ( F ) :

d i v r o t F = 1 - 1 + 0

d i v r o t F = 0

s   r o t F n d S + b a s e   r o t F n d S = W   0 × d W

s   r o t F n d S + b a s e   r o t F n d S = 0

s   r o t F n d S = - b a s e   r o t F n d S

Passo 4

Para calcular a integral nova, fazemos uma parametrização da superfície que é a base:

ϕ t , θ = t cos θ , t   s e n θ , 1

θ 0,2 π

t 0,1

Achando o vetor normal:

n = ϕ t × ϕ θ

n = i j k cos θ s e n θ 0 - t   s e n θ t cos θ 0

n = 0,0 , t

Que está apontando para dentro da superfície, como vemos no desenho, portanto trocamos o sinal para respeitar o enunciado e ter um vetor normal exterior:

n = 0,0 , - t

Passo 5

Substituindo a parametrização na equação de campo e sabendo que a primeira e a segunda coordenadas não influem em nada pois o produto escalar com o normal vai zerar elas:

r o t F = x - y s e n y z , e x - y , x 2 + y 2

r o t ( F ) = ( ? , ? , t 2 )

r o t ( F ) n = 0 + 0 - t 3

r o t ( F ) n = - t 3

Substituindo na fórmula, juntamente com os limites de integração da parametrização:

I = - 0 2 π 0 1 t 3 d t d θ

I = - 2 π t 4 4 0 1

I = - 2 π × 1 4

I = - π 2

Substituindo na integral que queríamos:

s   r o t F n d S = - b a s e   r o t F n d S

s   r o t F n d S = - - π 2

Resposta

s   r o t F n d S = π 2

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