Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 306 – 4
Encontre o fluxo do campo
Através da superfície , orientada positivamente, união das superfícies e , onde é definida por:
E tem equação:
Passo 1
Pelo aspecto do campo podemos adivinhar que utilizaremos o Teorema de Gauss. Desenhando um corte da região entre e no plano (poderia ser no e no também pra complementar, mas por conta da simetria da parada só esse já nos dá uma noção boa):
Podemos observar que falta uma certa “tampa” no plano pra fechar essas superfícies. Para aplicar o Teorema precisamos de uma superfície fechada, portanto definimos a superfície que fecha ela e adicionamos na integral.
Ela pode ser encontrada como a interseção da superfície laranja com o plano :
Essa “tampa” seria o conjunto de todos os pontos dentro dessa elipse encontrada acima:
A união entre as três superfícies delimita um sólido . A superfície ser orientada positivamente significa que seu vetor normal é apontado para fora.
Passo 2
Aplicando a fórmula do Teorema:
Como e pela propriedade aditiva de integrais:
O que nós queremos saber é a integral em , portanto é essa primeira do lado direito da equação acima. A outra que sobrou ainda vamos calcular (na marra mesmo).
Portanto, pelo teorema:
Calculando o divergente:
Passo 3
Substituindo na fórmula:
Portanto a integral que queremos é só trocar o sinal dessa que é mais fácil de calcular.
Passo 4
Parametrizando a :
Achamos seu vetor normal:
Como vimos no passo, ele tem que apontar para fora, e pelo desenho constatamos que temos que trocar o sinal do vetor para tal:
Passo 5
Aplicando na integral, sabemos que os valores da primeira e da segunda coordenada do campo não importam por causa do produto escalar com o vetor normal que zera elas. Logo, em nosso campo é:
Pois é definida por:
Aplicando a fórmula:
Substituindo os limites de integração provenientes da nossa parametrização:
Substituindo onde queríamos: