Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 306 – 4

Encontre o fluxo do campo

F = e y + cos y z , - 2 z y + s e n x z , z 2 + 3 2

Através da superfície S , orientada positivamente, união das superfícies S 1 e S 2 , onde S 1 é definida por:

z = 4 - 2 x 2 - y 2

z 0,2

E S 2 tem equação:

z = 1 + x 2 + y 2 2

z 1,2

Passo 1

Pelo aspecto do campo podemos adivinhar que utilizaremos o Teorema de Gauss. Desenhando um corte da região entre S 1 e S 2 no plano z x (poderia ser no z y e no x y também pra complementar, mas por conta da simetria da parada só esse já nos dá uma noção boa):

Podemos observar que falta uma certa “tampa” no plano x y pra fechar essas superfícies. Para aplicar o Teorema precisamos de uma superfície fechada, portanto definimos a superfície S 3 que fecha ela e adicionamos na integral.

Ela pode ser encontrada como a interseção da superfície z = 4 - 2 x 2 - y 2 laranja com o plano z = 0 :

0 = 4 - 2 x 2 - y 2

2 x 2 + y 2 = 4 x 2 2 + y 2 4 = 1

Essa “tampa” seria o conjunto de todos os pontos dentro dessa elipse encontrada acima: S 3 = x , y , z R 3 z = 0 ,   x 2 2 + y 2 4 1 }

A união entre as três superfícies delimita um sólido W . A superfície ser orientada positivamente significa que seu vetor normal é apontado para fora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a fórmula do Teorema:

W   F n d S = S 1 S 2 S 3   F n d S = W   d i v ( F ) d W

Como S 1 S 2 = S e pela propriedade aditiva de integrais:

W   F n d S = S 1 S 2   F n d S + S 3   F n d S

O que nós queremos saber é a integral em S , portanto é essa primeira do lado direito da equação acima. A outra que sobrou ainda vamos calcular (na marra mesmo).

Portanto, pelo teorema:

S 1 S 2   F n d S + S 3   F n d S = W   d i v ( F ) d W

Calculando o divergente:

d i v F = 0 - 2 z + 2 z = 0

Passo 3

Substituindo na fórmula:

S 1 S 2   F n d S + S 3   F n d S = W   0 × d W

S 1 S 2   F n d S + S 3   F n d S = 0

S 1 S 2   F n d S = - S 3   F n d S

Portanto a integral que queremos é só trocar o sinal dessa que é mais fácil de calcular.

Passo 4

Parametrizando a S 3 :

ϕ t , θ = 2 t cos θ , 2 t   s e n θ , 0

θ 0,2 π

t 0,1

Achamos seu vetor normal:

n = ϕ t × ϕ θ

n = i j k 2 cos θ 2   s e n θ 0 - 2 t   s e n θ 2 t cos θ 0

n = 0,0 , 2 2 t

Como vimos no passo, ele tem que apontar para fora, e pelo desenho constatamos que temos que trocar o sinal do vetor para tal:

n = 0,0 , - 2 2 t

Passo 5

Aplicando na integral, sabemos que os valores da primeira e da segunda coordenada do campo não importam por causa do produto escalar com o vetor normal que zera elas. Logo, em S 3 nosso campo é:

F = ? ,   ? , 0 2 + 3 2

F = ? ,   ? , 3 2

Pois S 3 é definida por:

S 3 = x , y , z R 3 z = 0 ,   x 2 2 + y 2 4 1 }

Aplicando a fórmula:

S 3   ? ,   ? , 3 2 0,0 , - 2 2 t d t d θ

Substituindo os limites de integração provenientes da nossa parametrização:

I = - 0 2 π 0 1 6 t d t d θ

I = - 6 π t 2 0 1

I = - 6 π

Substituindo onde queríamos:

S 1 S 2   F n d S = - S 3   F n d S

S 1 S 2   F n d S = - - 6 π

Resposta

S 1 S 2   F n d S = 6 π

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