Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2018.2, Questão 4

Questão 4: Considere uma esfera E eum paralelepípedo sólido P definidos por

E = x ,   y ,   z |   x 2 + y 2 + z 2 = 4 ;     P = x ,   y ,   z |   x 1 ,   y 3 ,   z 5 .

  1. Dê uma parametrização da superfície S = E P , orientada com vetor normal apontando para a origem.
  2. duas expressões que permitam calcular o fluxo do campo F = x ,   - 2 y ,   z através de S , uma na parametrização, e outra usando o Teorema de Gauss.
  3. Escolha uma destas duas expressões e calcule o fluxo

S   F d S

Passo 1

Item I)

Primeiro é legal termos uma visão geométrica da nossa superfície, certo? Sabemos que a nossa S é a intersecção da esfera de raio 2 :

Com o paralelepípedo, onde - 1 x 1 , - 3 y 3 e - 5 z 5 :

Pow, os pontos que são comuns tanto à casca esférica e o paralelepípedo, são esses pontos da esfera no interior:

Como se tivéssemos cortado as calotas em x = 1 e em x = - 1 e as jogadas fora, entende?

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Passo 2

Parametrizar essa superfície requer a utilização das primas das coordenadas esféricas:

x = r sin φ cos θ

y = r sin φ sin θ

z = r cos φ

Só que a gente vai mudar algumas coisas nela. Bem, primeiro, perceba que com essa mudança, temos essas variáveis “variando” desse jeito aqui, veja:

Poxa, veja que é extremamente complicado descrever o sólido com essas variáveis do jeito que esta, pois o ângulo φ é depende do ângulo θ . Mas veja que se mudarmos as coordenadas de forma que o ângulo φ varie da borda feita pelo plano x = 1 até a outra feita pelo plano x = - 1 , dessa forma aqui:

Muito melhor, pois assim, o ângulo θ varia de 0 até 360 ° , enquanto ângulo φ varia de uma borda a outra sem depender de θ , saca? Mas ao fazer essa mudança, estamos basicamente mudando as coordenadas:

x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ = r cos φ                               P a s s a   a   s e r                             y = r sin φ cos θ z = r sin φ sin θ x = r cos φ

Pra fazer essa troca, é só observar que para o ângulo φ sai do eixo x , então temos que ter o cos φ com x (o mesmo vale para o ângulo θ sai do eixo y ), saca?

Bem, essas aí são as coordenadas esféricas, mas queremos utiliza-la para parametrizar uma esfera de raio fixo igual a 2 , então concluímos que uma boa parametrização é:

σ φ ,   θ = 2 cos φ ,   2 sin φ cos θ ,   2 sin φ sin θ

Passo 3

Calma jovem, que ainda falta os limites!

Como já comentamos, vamos ter um ângulo θ dando uma volta completa ao redor do eixo x :

0 θ 2 π

Enquanto isso:

P l a n o   x = 1 φ P l a n o   x = - 1

Onde mudando para os termos da parametrização...

P l a n o   x = 1 :

x = 1             2 cos φ = 1      

cos φ = 1 2          

φ = 60 ° = π 3

E

P l a n o   x = - 1 :

x = - 1             2 cos φ = - 1      

cos φ = - 1 2          

φ = 120 ° = 2 π 3

Logo:

π 3 φ 2 π 3

Passo 4

Calma que só falta mais uma coisinha para terminarmos: o vetor normal!

Esse vetor sempre pode ser encontrado fazendo o produto vetorial entre as derivadas parciais da parametrização de superfície:

N = σ φ × σ θ

Só que calcular essas derivadas parciais aí é um pouco chato! Aqui é melhor utilizar um bizu: toda vez que temos esferas centradas na origem sendo parametrizadas, basta fazermos:

N = R sin φ σ φ ,   θ

Onde R é o raio da esfera que no caso é 2 :

N = 2 sin φ 2 cos φ ,   2 sin φ cos θ ,   2 sin φ sin θ  

N = 4 sin φ cos φ ,   4 sin 2 φ cos θ ,   4 sin 2 φ sin θ

Só tem um porem: o enunciado nos pede...

“... orientada com vetor normal apontando para a origem.

Logo, para esse vetor normal atender essa condição, precisamos inverter o sinal dessas coordenadas aí:

N = - 4 sin φ cos φ , -   4 sin 2 φ cos θ , -   4 sin 2 φ sin θ

Passo 5

Item II)

A primeira expressão é a integral de superfície calculada de uma forma direta:

S   F d S

Onde:

F = x ,   - 2 y ,   z

Em termos das parametrizações...

F = 2 cos φ ,   - 2 2 sin φ cos θ ,   2 sin φ sin θ

Enquanto isso:

S :   0 θ 2 π

          π 3 φ 2 π 3

E:

d S = N d φ d θ

Então:

S   F d S = 0 2 π π 3 2 π 3 2 cos φ ,   - 2 2 sin φ cos θ ,   2 sin φ sin θ - 4 sin φ cos φ , -   4 sin 2 φ cos θ , -   4 sin 2 φ sin θ   d φ d θ

Passo 6

A outra expressão é proveniente do Teorema de Gauss:

W   F d S = W   d i v   F d V

Mas para isso precisamos de uma superfície W fechada e sendo o bordo do sólido W . Ora, essas bordas pode ser os próprios discos em x = 1 e x = - 1 :

Esses discos têm equações:

x 2 + y 2 + z 2 = 4      

1 + y 2 + z 2 = 4      

y 2 + z 2 = 3

A eles vamos dar o nome de D 1 para o disco no plano x = 1 e D - 1 para o que está no plano x = - 1 , assim, pelo Teorema de Gauss, a borda W = S D 1 D - 1 :

S   F d S + D 1   F d S + D - 1   F d S = W   d i v   F d V

Como o divergente do campo F = x ,   - 2 y ,   z é...

d i v   F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = 1 + - 2 + 1 = 0

Ficamos com...

S   F d S + D 1   F d S + D - 1   F d S = 0    

S   F d S = - D 1   F d S - D - 1   F d S

Passo 7

Item III)

Vamos escolher essa primeira opção, pois parece ser mais tranquila:

S   F d S = 0 2 π π 3 2 π 3 2 cos φ ,   - 2 2 sin φ cos θ ,   2 sin φ sin θ - 4 sin φ cos φ , -   4 sin 2 φ cos θ , -   4 sin 2 φ sin θ   d φ d θ  

0 2 π π 3 2 π 3 - 8 sin φ cos 2 φ +   16 sin 3 φ cos 2 θ   - 8 sin 3 φ sin 2 θ   d φ d θ    

0 2 π π 3 2 π 3 - 8 sin φ cos 2 φ +   16 sin 3 φ cos 2 θ   - 8 sin 3 φ sin 2 θ   d φ d θ =

0 2 π π 3 2 π 3 - 8 sin φ cos 2 φ   d φ d θ + 0 2 π cos 2 θ π 3 2 π 3   16 sin 3 φ     d φ d θ + 0 2 π sin 2 θ π 3 2 π 3   - 8 sin 3 φ   d φ d θ =

0 2 π d θ π 3 2 π 3 - 8 sin φ cos 2 φ   d φ + 0 2 π cos 2 θ d θ π 3 2 π 3   16 sin 3 φ     d φ + 0 2 π sin 2 θ d θ π 3 2 π 3   - 8 sin 3 φ   d φ   =

Como 0 2 π sin 2 θ d θ = 0 2 π cos 2 θ d θ = π ...

2 π π 3 2 π 3 - 8 sin φ cos 2 φ   d φ + π π 3 2 π 3   16 sin 3 φ     d φ + π π 3 2 π 3   - 8 sin 3 φ   d φ   =

Colocando as integrais dentro de uma só...

- 16 π π 3 2 π 3 sin φ cos 2 φ   d φ + 16 π π 3 2 π 3   sin 3 φ     d φ - 8 π π 3 2 π 3   sin 3 φ   d φ   =

- 8 π π 3 2 π 3 2   sin φ cos 2 φ   d φ + π 3 2 π 3 - 2   sin 3 φ     d φ + π 3 2 π 3   sin 3 φ   d φ   =

- 8 π π 3 2 π 3 2  sin φ cos 2 φ - 2   sin 3 φ +   sin 3 φ   d φ   =

- 8 π π 3 2 π 3 2  sin φ cos 2 φ -   sin 3 φ   d φ   =

- 8 π π 3 2 π 3 2  sin φ cos 2 φ - sin φ 1 - cos 2 φ   d φ   =

- 8 π π 3 2 π 3 3 cos 2 φ - 1   sin φ d φ   =

Fazendo uma mudança:

cos φ = t                 d t = - sin φ   d φ

Mudando também os limites...

φ = π 3                                         t = 1 2

φ = 2 π 3                                         t = - 1 2

Então...

8 π 1 2 - 1 2 3 t 2 - 1   d t   = 8 π t 3 - t 1 2 - 1 2 =

8 π - 1 2 3 - - 1 2 - 1 2 3 - 1 2 =

8 π - 1 4 + 1 = 6 π

Resposta

Item I)

σ φ ,   θ = 2 cos φ ,   2 sin φ cos θ ,   2 sin φ sin θ         c o m           θ 0 ,   2 π     e     φ π 3 , 2 π 3

Item II)

S   F d S = 0 2 π π 3 2 π 3 - 8 sin φ cos 2 φ +   16 sin 3 φ cos 2 θ   - 8 sin 3 φ sin 2 θ   d φ d θ

S   F d S = - D 1   F d S - D - 1   F d S

Item III)

6 π

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