Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 6, Questão 8

8) Seja F x ,   y ,   z = z arctan y 2 i + z 3 ln x 2 + 1 j + z k . Determine o fluxo de F através da parte do paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 , sendo n a normal com a componente z não negativa.

Passo 1

Se o problema nos pediu fluxo de F sobre uma superfície S , com toda certeza o que ele está buscando é que façamos uma integral de superfície:

S   F d S

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Veja você que o campo é um pouco complicado para se fazer uma integral de superfície direto com ele. Além disso, se você quer mais certeza ainda que de fato vamos resolver o problema pelo Teorema de Gauss, calcule o divergente...

d i v   F = F 1 x + F 2 y + F 2 z

Como

F x ,   y ,   z = z arctan y 2 i + z 3 ln x 2 + 1 j + z k

Calculando as derivadas parciais:

1 )                       F 1 x = z arctan y 2 x = 0

2 )                 F 2 y = z 3 ln x 2 + 1 y = 0

3 )                                                                 F 2 z = z z = 1

Logo...

d i v   F = F 1 x + F 2 y + F 2 z = 1

Pow, com um divergente simples e convidativo, sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

W   F d S = W   d i v   F   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada W delimitando o sólido W :

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

3º - Superfície orientada positivamente:

Vem comigo averiguar essas condições ;D

Passo 3

1º - Uma superfície fechada W delimitando o sólido W :

Se desenharmos a superfície S que queremos o fluxo, como o problema nos sugeriu,

x 2 + y 2 + z = 2                     z = 2 - x 2 - y 2

Veja que ela nos representa um paraboloide que termina com a boca pra baixo. Como queremos apenas a parte com z 1 ...

Infelizmente ela é uma superfície aberta, logo, para aplicar o Teorema teremos que fecha-la. Podemos fazer isso com o plano z = 1 ...

Veja então que o sólido W onde devemos integrar agora é fechado pelas superfícies S e por esse plano que vamos chamar de S 2 , logo...

W   F d S = W   d i v   F   d V      

S   F d S + S 2   F d S = W   d i v   F   d V  

Como queremos o fluxo só em S , isolemos...

S   F d S = W   d i v   F   d V - S 2   F d S

Passo 4

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F x ,   y ,   z = z arctan y 2 i + z 3 ln x 2 + 1 j + z k

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado, afinal o vetor n tem a componente z positiva...

Passo 5

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

S   F d S = W   d i v   F   d V - S 2   F d S

Então se queremos a integral de superfície S , calculemos a integral tripla e essa integral de superfície em cima de S 2 . Eu sei... Parece insano isso neh? Trocando uma integral para resolver duas... Mas cara, acredite em mim, essa é a maneira ais rápida que temos !

Passo 6

Então vamos lá, e começando com a integral tripla...

W   d i v   F   d V = W   1   d V

Essa integral tripla que gerou é igual ao volume de W . Porém o sólido está dentro de um paraboloide, ou seja, essa informação pra gente não serve de muita coisa, neh? Então vamos resolver na marra mesmo, ou seja, primeiro descrever a região:

Descrevendo W :

Como estamos falando de um pedaço de um paraboloide, podemos utilizar as mudanças para coordenadas cilíndricas:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

Onde o Jacobiano dessa mudança é:

J = r

E uma equação que nos ajuda muito é a equação do cilindro:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 7

Bem, não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:

Para encontrar a variação de r e θ , devemos olhar pra projeção do sólido no plano x y ...

Veja que essa projeção se parece muito pelo método gráfico com um círculo. Não podemos ficar no “se parece” neh? Devemos ter certeza, por isso vamos encontrar a equação dessa projeção.

Observe que ela é o encontro da equação do plano z = 1 com a equação do paraboloide: z = 2 - x 2 - y 2

1 = 2 - x 2 - y 2    

x 2 + y 2 = 1

Veja que a intersecção de fato é uma circunferência de raio 1 , onde podemos concluir que o Raio r ...

0 r 1

E o ângulo θ ...

0 θ 2 π

Já variação do z , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:

Ou seja...

P l a n o   z = 1 z p a r a b o l o i d e

1 z 2 - x 2 + y 2

Agora, se estamos em coordenadas polares...

1 z 2 - r 2

Passo 8

Voltando então para a integral que devemos resolver:

W   d V = W     d V =

Substituindo tudo...

W     d V = 0 2 π 0 1 1 2 - r 2 J   d z d r d θ =

0 2 π 0 1 1 2 - r 2 r   d z d r d θ =

Calculando a integral de dentro...

0 2 π 0 1 1 2 - r 2   d z d r d θ = 0 2 π 0 1 r 1 - r 2 d r d θ =

0 2 π 0 1 r - r 3 d r d θ =

Agora a do meio...

0 2 π 0 1 r - r 3 d r d θ = 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ =

1 2 2 - 1 4 4 0 2 π d θ = π 2

Passo 9

Vamos calcular agora a integral de superfície em S 2 ...

S 2   F �� n   d S

S 2 foi a superfície que adicionamos para tampar o buraco, ou seja é o plano z = 1 ...

Essa superfície tem o vetorzinho normal n apontado para baixo e ele é unitário, então...

n = 0 ,   0 ,   - 1

Logo...

F n =

z arctan y 2 ,   z 3 ln x 2 + 1 ,   z 0 ,   0 , -   1 =

- z

Como no plano o z é 1 , então...

F n = - 1

Substituindo na integral de superfície...

S 2   F n   d S = - S 2     d S

Bem, a integral virou o negativo da área de S 2 . Ora bolas, S 2 não é uma circunferência de raio 1 ?...

S 2   F n   d S = - π 1 2 = - π

Passo 10

Regressando a integral do problema...

S   F d S = W   d i v   F   d V - S 2   F d S

S   F d S = 1 2 π - - π

S   F d S = 3 π 2

Resposta

3 2 π

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