Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2014.2, Questão 2

Seja S a superfície x 2 + y 2 + z 100 = 9 ,     z 0 , orientada com vetores normais apontando para cima. Calcule

S   F . d S

Sendo F o campo vetorial dado por F x , y , z = ( e x cos 2 y + y z ,   - y e x + x z ,   z e x s e n 2 y + π ) .

Sugestão: Observe que podemos “fechar” S acrescentando o disco x 2 + y 2 9 ,   z = 0 , (cuja área é 9 π ) de modo a obter a fronteira de uma região sólida simples.

Passo 1

Repare que a interseção da subperfície x 2 + y 2 + z 100 = 9 com z = 0 é a circunferência x 2 + y 2 = 9 .   z = 0 .

Então, podemos fechar essa superfície com o disco x 2 + y 2 9 ,   z = 0 , como sugere o problema, formando a região W :   x 2 + y 2 + z 100 9 ;   z 0 .

Recaptulando: nós temos um sólido W que possui como fronteira em cima a superfície S e embaixo o disco, que vamos chamar de D .

Beleza?

Como a região limitada por S e D é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente ( S aponta para cima e D aponta para baixo), podemos aplicar o Teorema de Gauss:

S   F . d s + D   F . d s = w   d i v F   d V

Como queremos a integral em S :

S   F . d s = w   d i v F   d V - D   F . d s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos calcular d i v F . Temos:

F x , y , z = ( e x cos 2 y + y z ,   - y e x + x z ,   z e x s e n 2 y + π )

d i v F = F 1 x +   F 2 y + F 3 z = e x cos 2 y - e x + e x s e n 2 y = e x - e x = 0

Passo 3

Agora vamos montar a integral

S   F . d s = w   0   d x d y d z - D   F . d s

S   F . d s = - D   F . d s

Onde W é o volume que vimos no passo 1.

Passo 4

Beleza, então precisamos só da integral no disco. A gente poderia parametrizar o disco, encontrar a normal a ele e etc, mas tem um jeito mais fácil de sair disso aqui.

O disco x 2 + y 2 = 9 ,   z = 0 estã no plano x y , não é? Então, a normal unitária a ele é dada por

n = ( 0,0 , - 1 )

Esse sinal negativo está ai porque, como já vimos, ela é orientada para baixo. Ok, então podemos escrever:

S   F . d s = - D   F . d s = - D   F . n d s =

S   F . d s = - D   ( e x cos 2 y + y z ,   - y e x + x z ,   z e x s e n 2 y + π ) . ( 0,0 , - 1 ) d s

S   F . d s = D   π d s

Como tudo se simplificou, acabou que nem era preciso parametrizar nada, percebeu? E como o problema nos deu a área S , podemos resolver isso aí:

S   F . d s = π D   d s = π   Á r e a S = 9 π 2

Resposta

9 π 2

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