Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2017.1, Questão 4

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo F definido por

F = x 2 y ,   x y 2 ,   5 - 4 x y z

Através da superfície dada pela equação x 2 + y 2 + z = 1 com z 0 , orientada tal que o seu vetor normal tem coordenada z negativa.

Passo 1

Como quase todo problema de Teorema de Gauss, é muito legal pra gente iniciar o problema olhando com mais detalhe a superfície de integração que no caso é .

Se a gente trabalhar um pouco com a equação dessa superfície passando o x 2 e o y 2 pro outro lado...

x 2 + y 2 + z = 1           z = 1 - x 2 - y 2

Ganhamos uma expressão que nos indica que a superfície que a gente está trabalhando aqui se trata de um paraboloide centrada no eixo z e virada pra baixo

Porém, não estamos interessados em todo o paraboloide, até porque ele cresce infinitamente pra baixo. Só queremos esse pedaço com o z 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pois bem... já sabemos que queremos o fluxo do campo F através dessa superfície com a normal pra dentro (coordenada z negativa), e teremos que fazer isso através de Gauss.

Mas espera! Gauss necessita de uma superfície fechada, correto?

SIM! Mas não é um grande problema pra gente, pois podemos pegar essa ‘tampa’ de baixo ai, ou seja, o plano z = 0

Mas espera novamente! Pra aplicar Gauss precisamos normal pra fora!!!

O que também não é um grande problema, pois depois basta inverter o sinal da resposta que a gente encontrar, beleza?

BELEZA! Então bora aplicar Gauss aí!

Passo 3

1 F n 1   d S = w d i v F d V

n 1 é o vetor normal apontando pra fora, como queremos o inverso, n , basta inverter o sinal da integral tripla

1 F n   d S = - w d i v F d V

Onde 1 é a superfície fechada que delimita o sólido W dentro do paraboloide, ou seja, a união do paraboloide com o plano 1 .

Pela propriedade da soma

1 F n   d S = F n   d S + 1 F n   d S

F n   d S + 1 F n   d S = w d i v F d V

Logo, para encontrar o resultado do problema, é procurar a solução das outras duas integrais mais simples. :D

Passo 4

Vamos começar então, por ela: a integral tripla. E começar pela integral tripla, não é nada mais do que começar calculando esse divergente.

Lembre-se que d i v F = F 1 x + F 2 y + F 3 z , sendo assim, calculando esses caras e fazendo essa soma

d i v F = F 1 x + F 2 y + F 3 z = 2 x y + 2 x y + - 4 x y

d i v F = 0

Logo

w d i v F d V = 0

Veja que maravilha!

Para resolver o problema, basta encontrar uma integral de superfície! :)

Passo 5

Então... calculando essa integral de superfície pelo método direto (não se preocupe, pois ela não será um grande problema. Eu prometo!:D )

1 F n   d S

Devemos parametrizar a superfície   1 , o que não é um problema, pois estamos em cima de um plano z = 0 e dentro de uma circunferência, veja só

x 2 + y 2 + z = 1       x 2 + y 2 = 1    

Logo podemos parametrizar, utilizando coordenadas polares

x = r cos θ

y = r sin θ

Como z = 0 , obtemos a parametrização de 1

σ r ,   θ = ( r cos θ ,   r sin θ ,   0 )

Onde

0 r 1

0 θ 2 π

Vamos agora encontrar o vetor normal, sabendo que n = σ r × σ θ .

Calculando essas derivadas parciais aí

σ r = cos θ , sin θ ,   0

σ θ = ( - r sin θ ,   r cos θ ,   0 )

Jogando dentro do determinante e resolvendo, vamos obter

n = i ^ j ^ k ^ cos θ sin θ 0 - r sin θ r cos θ 0 = 0 ,   0 ,   r

Observe que esse vetor é justamente o que queremos, pois ele está apontado pra cima ( r 0 ), ou melhor, pra dentro da superfície.

E aí aqui você precisa ter atenção!! O vetor normal n é o vetor que indica a parametrização da superfície! Como ela tem que estar orientada positivamente, ele tem que apontar pra cima! (O que tá ok, porque r 0 .)

É diferente do que ele falou no enunciado, que o vetor normal apontava no sentido negativo de z . Isso a gente já arrumou quando trocou o sinal do Teorema de Gauss, aqui:

1 F n   d S = - w d i v F d V

Não confunda!

Passo 6

Agora voltando para a integral

1 F n   d S = 0 2 π 0 1 x 2 y ,   x y 2 ,   5 - 4 x y z 0 ,   0 ,   r d r d θ

Note que quando fizermos o produto interno desses dois vetores, as duas primeiras coordenas sumirão, logo, devemos mudar para as novas variáveis apenas a terceira coordenada 5 - 4 x y z .

Repare também que quando substituirmos as coordenadas, como z = 0 , apenas restará o 5 , logo

0 2 π 0 1 x 2 y ,   x y 2 ,   5 - 4 x y z 0 ,   0 ,   r d r d θ = 0 2 π 0 1 5 r d r d θ

Chegamos em uma integral bem simples, portanto integrando primeiro em r e depois em θ

1 F n   d S = 0 2 π 5 r 2 2 0 1 d θ = 0 2 π 5 2 d θ

1 F n   d S = 5 2 2 π - 0 = 5 π

Passo 7

Voltando para Gauss, temos

F n   d S + 1 F n   d S = - w d i v F d V

F n   d S + 5 π = 0           F n   d S = - 5 π  

Resposta

F n   d S = - 5 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas