Um arame metálico forma um circuito retangular, de altura h , largura   w e massa   m . Esse arame tem uma resistência total igual a R . Na Figura, podemos ver que, em um certo instante de tempo, uma parte do aro está e m   y   >   0 e outra em y   <   0 . O plano y   =   0 (linha azul tracejada) separa a região onde o campo magnético aponta na direção + z da região onde o campo magnético aponta na direção – z , como mostra a Figura. Observe a distância   y entre a linha tracejada azul e o braço horizontal inferior da espira.

Se y > 0 , temos B → = + B 0 z ^ ; Se y < 0 , B → = - B 0 z ^ .

Suponha que esse aro cai com velocidade vertical v constante ( | y |   <   h ) sob a ação apenas de seu próprio peso e das forças magnéticas agindo sobre ele. Todas as respostas abaixo devem ser apresentadas apenas em função das variáveis do problema: h ,   w ,   v ,   g ,   B 0 ,   R ,   m (use apenas as necessárias).

Quando o aro está colocado como mostra a Figura, para todos os itens:

  1. Calcule a taxa de variação no tempo do fluxo magnético sobre o aro
  2. Calcule a f e m sobre o aro e a corrente induzida. Seu sentido é horário ou anti horário? Justifique sua resposta
  3. Calcule a força magnética resultante sobre o aro
  4. Calcule o valor da velocidade constante v com que o aro cai. Lembre-se que a velocidade é um vetor
  5. Calcule o valor da potencia elétrica P e l dissipada no aro
  6. Calcule a potencia P m g fornecida elo trabalho da força peso sobre o aro. Calcule P m g / P e l

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Vamos começar pelo vetor normal à superfície: n ^ = z ^ . Para o fluxo, teremos duas contribuições, da área w y da parte inferior da espira e da área ( h + y ) w da parte superior. Daí o fluxo magnético fica:

Φ B = - y w - B 0 z ^ + h + y w B 0 z ^ ⋅ n ^

Φ B = - y w - B 0 z ^ + h + y w B 0 z ^ ⋅ z ^ = 2 y w B 0 + h w B 0

E a variação temporal do fluxo é a derivada no tempo dessa expressão:

d Φ B d t = 2 w B 0 d y d t  

E sabemos que d y / d t é igual a velocidade - v :

d Φ B d t = - 2 w B 0 v

Passo 2

Letra (b):

A f e m pode ser obtida através da lei de Lentz! Saca só:

ϵ = - d Φ B d t = - 2 w B 0 - v = 2 w B 0 v

E a corrente induzida pode ser encontrada através da lei de ohm:

ϵ = R i B

i B = 2 w B 0 v R

E o sentido? O sentido é o anti-horário, pois i B > 0 e cria um fluxo positivo, se opondo à mudança.

Passo 3

Letra (c): agora vamos calcular a força.

A força total vai ser a soma de cada uma das forças em cada fio. Em um deles, a força vai ser:

F = i L B s e n θ

O vetor deslocamento tem módulo w e na direção perpendicular de cada um dos campos B 0 . O ângulo entre eles é 90 ° , assim a força em um deles é:

F = i B w B 0 s e n 90 = 2 w B 0 2 v R

E a força total é o dobro desse valor:

F t o t a l = 2 F = 4 w B 0 2 v R

Show! Vamos pra letra (d)?

Passo 4

Letra (d):

A resultante total sobre o aro é nula, pois a velocidade é constante e isso significa que a aceleração e a força resultante são iguais a zero.

Sendo assim, só temos a força gravitacional (apontando para baixo) e a força magnética (apontando para cima):

- m g + 4 w B 0 2 v R = 0

E daqui podemos achar o valor da velocidade v :

4 w B 0 2 v R = m g

v = m g R 4 w B 0 2

Tranquilo? Então borá pra letra (e)!

Passo 5

Letra (e):

A potência elétrica dissipada é dada por:

P e l = i B 2 R

A corrente já foi calculada, então agora é só substituir:

P e l = 2 w B 0 v R 2 R

P e l = 4 w 2 B 0 2 v 2 R

E agora usando a expressão para a velocidade que encontramos no passe anterior temos:

P e l = 4 w 2 B 0 2 R m g R 4 w B 0 2 2 = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

Beleza até aqui? Vamos para o último item?

Passo 6

Letra (f):

E a potência P m g é dada através da velocidade:

P m g = F v = m g v

Usando a expressão para a velocidade do item (d) temos:

v = m g R 4 w B 0 2

P m g = m g m g R 4 w B 0 2 = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

E essa é exatamente a expressão para a P e l encontrada no passo anterior! Assim a razão entre as potências fica:

P m g P e l = 1

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   d Φ B d t = 2 w B 0 v

b ) ϵ = 2 w B 0 v

i B = 2 w B 0 v R ,   a n t i - h o r á r i o

c ) F t o t a l = 4 w B 0 2 v R

d ) v = m g R 4 w B 0 2

e ) P e l = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

f ) P m g = m 2 g 2 R 4 w 2 B 0 2

P e l P m g = 1

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Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v