Uma espira condutora quadrada de lado a e resistência elétrica R desloca-se em movimento retilíneo uniforme com velocidade v → = v   x ^ ( v > 0 ), de forma que dois de seus lados permanecem paralelos ao eixo X , como mostrado na figura abaixo. Ela atravessa uma região de campo magnético uniforme e estacionário   B → = - B   z ^   ( B > 0 ) , que se estende ao longo de uma região de comprimento l   ( l > a ) ao longo do eixo X e por todo o eixo Y . Para os cálculos abaixo, escolha o vetor unitário (ou versor) normal à área definida pela espira como   n ^ = - z ^ , ou seja, entrando no plano da folha.

  1. Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida na espira em três situações: i quando ela está entrando na região do campo, ( i i ) quando está totalmente imersa nessa região e ( i i i ) quando está saindo dessa região.
  2. Determine a força magnética sobre a espira (módulo, direção e sentido) nas mesmas três situações do item anterior.
  3. Faça gráficos separados da intensidade do fluxo de campo magnético sobre a espira e da corrente na espira como função do tempo t . Considere t = 0 o instante em que a espira começa a entrar na região do campo e destaque os intervalos de tempo correspondentes às três situações acima. Atribua sinais positivo e negativo para o sentido corrente de acordo com a orientação do vetor normal mencionado acima.

Passo 1

Na figura abaixo são representadas cada uma das situações mencionados no enunciado. A área, como pedido na questão, é orientada paralelamente ao vetor   B → e, portanto, assim como este, também está entrando no plano da página. Por isso, o sentido positivo para a fem e a corrente induzidas é horário, como indicado pelo sinal + na figura abaixo.

Antes de começar a analisar cada situação separadamente, note que o fluxo de campo magnético é sempre positivo, pois   B → é sempre paralelo à área atravessada pelas linhas de campo em cada um dos instantes de seu movimento.

Na situação ( i ) , a espira quadrada está entrando na região onde há campo. Então, à medida que ela entra nessa região, mais linhas de campo atravessam sua área, correto?

Aqui começo te perguntando: se o campo   B → é uniforme (o mesmo em todos os pontos da região!) e estacionário (não varia com o tempo!) e a área da espira também não muda, o que poderia variar nesse caso?

Bom, a área da espira por onde as linhas de campo passam aumenta à medida que a espira com velocidade constante v → entra na região e essa é a razão pela qual esperamos encontrar em ( i ) uma corrente induzida! Agora, qual o sentido dela?

Ao se deslocar para dentro do campo, o fluxo magnético, que é sempre positivo, Φ B > 0 (pois   B → é sempre paralelo à área da espira!), aumenta, pois mais linhas de campo atravessam sua área. Isso significa que a taxa de variação do fluxo é positiva:

d Φ B d t > 0 ⇒ ε = - d Φ B d t < 0

isto é, o fluxo está aumentando com o tempo e aparecem uma fem e uma corrente induzidas, ambas negativas, na espira no sentido anti-horário.

Agora para um pouco, respira e verifica se essa discussão ficou clara para vocês....Tenta acompanhar a solução sempre olhando para a parte da figura correspondente.

Respirou? Conferiu se a ideia da situação ( i ) ficou clara? Se sim, pode seguir agora...

Na situação ( i i ) , como o campo é uniforme e estacionário e a quantidade de linhas de campo que atravessam a área da espira é sempre a mesma, o fluxo magnético nesse caso é constante: Φ B = c o n s t a n t e . Por isso, temos o seguinte

d Φ B d t = 0 ⇒ ε = 0

e, como não fem induzida, também não há corrente induzida neste caso.

Na situação i i i , ocorre exatamente o oposto da situação ( i i ) , pois, agora, a área que é atravessada pelas linhas de campo está diminuindo com o tempo. Por isso, o fluxo magnético, apesar de positivo, Φ B > 0 , tem sua taxa diminuindo com o tempo, ou seja,

d Φ B d t < 0 ⇒ ε = - d Φ B d t > 0

Assim, como a fem induzida é positiva, a corrente induzida também tem sentido positivo, o que significa que está circulando no sentido horário.

Passo 2

Agora que já sabemos quais os sentidos das correntes induzidas em cada uma das situações, vamos encontrar a intensidade de cada uma delas. Para isso, precisamos calcular a fem induzida ε para cada caso.

Como campo magnético é uniforme (o mesmo em todos os pontos!) e estacionário (não varia com o tempo!), em toda a superfície da espira condutora ele tem o mesmo valor. Por isso, o campo   B → pode sair da integral do fluxo magnético e obtemos o seguinte

Φ B = ∫ S B → .   d S → = B → . S   n ^ = B S

onde   S → = S n ^ , sempre paralela a B → , é a área atravessada pelas linhas de campo.

Essa expressão para Φ B vale para cada uma das situações que estamos discutindo nesta questão. Por isso, sugiro que confirme se o desenvolvimento dessa expressão está OK para você...

Se está tudo tranquilo até aqui, continuemos! Respira fundo e....bora lá

Na situação ( i ) , S = a x ( t ) , pois essa é a área pela qual passam as linhas de campo nesse caso. Por isso, o módulo da fem induzida é

ε = d Φ B d t = B a d x d t = B a v

Como a fem induzida é dada por ε = R I i n d , temos que

I i n d ( i ) = B a v R

Na situação i i i , como a área atravessada pelo campo diminui com a mesma taxa que aquela da situação ( i ) , a corrente induzida tem o mesmo módulo, isto é,

I i n d ( i i i ) = I i n d ( i ) = B a v R

Os Passos 1 e 2 são referentes ao item a) da questão!!

Passo 3

Considerando o item b) da questão, para calcularmos a força magnética resultante, usaremos a expressão

F → = I i n d   L → × B →

em que   L → é o vetor cuja direção e sentido é dado pelo sentido em que a corrente circula na espira.

Na situação ( i ) , como a corrente induzida está no sentido anti-horário, o vetor   L → em cada lado da espira é representado na figura abaixo pelas setas azuis. Realizando o produto vetorial de   L → com o campo nos lados da espiras que são paralelos ao eixo X , vemos que as forças nesses segmentos são de mesmo módulo, mesma direção, porém sentidos contrários:   F 1 → e   - F 1 → . Portanto, a força resultante na direção Y é zero!

Com isso, só precisamos calcular a força   F 2 → que atua no lado da espira paralelo ao eixo Y , como indicado na figura acima.

Nesse caso, temos os seguintes vetores:   L → = a   y ^ e   B → = - B   z ^ . Portanto, como   y ^   ×   z ^ =   x ^ , temos

F → R = I i n d i     L →   × B → = I i n d i a y ^ × - B z ^ = - I i n d i   a B   y ^ × z ^

F → R = - I i n d i   a B x ^

Como I i n d ( i ) = B a v / R .

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

Na situação ( i i ) , como vimos, I i n d ( i i ) = 0 . Isso significa que a força resultante na espira nesse caso é zero.

Na situação ( i i i ) , a corrente induzida está no sentido horário e, por isso, o produto   I i n d ( i i i ) L →   ×   B → ainda produz uma força na lateral paralela ao eixo Y no mesmo sentido que no caso ( i ) , ou seja, uma força também apontando para o sentido -   x ^ . O módulo dessa força é igual ao caso ( i ) e, por isso, temos uma força também dada por

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

Repare que nos lados da espira paralelos ao eixo Y , as forças continuam se cancelando e não contribuem para a força resultante.

Passo 4

Discutindo o item c):

Antes de esboçarmos os gráficos, vamos estudar um pouco sobre os intervalos de tempo relacionados ao movimento da espira. No tempo t = 0 , a espira começa a entrar na região de campo. Vamos separar essa discussão sobre o intervalo tempo em três etapas:

1) Como o movimento é MRU ( v é constante), x ( t ) aumenta linearmente com o tempo e ela gasta um tempo t p = a / v para entrar totalmente na região de   B → . Ela também leva um tempo igual a t p = a / v para poder sair dessa região.

2) Agora, considere o lado vertical da espira mais à sua esquerda, que a gente destaca lá na figura usando a chave em preto. Depois que a espira entrou totalmente dentro da região de campo, esse lado vertical gasta um tempo t l = l / v para chegar até o final da região de campo magnético.

Concorda? Checa isso lá na figura para não restarem dúvidas..

Uma vez que já estudamos sobre os intervalos de tempo, vamos resumir o que descobrimos sobre o fluxo magnético e sua taxa de variação com o tempo e colocar tudo junto num gráfico:

  1. Na situação ( i ) , o fluxo magnético, que é sempre positivo ( Φ B > 0 ), aumenta com o tempo à medida que a espira vai entrando na região de campo magnético e tem valor máximo Φ B = B a 2 quando a espira está toda dentro do campo. Como a velocidade da espira é constante, a área atravessada pelo  B → vai aumentando linearmente com o tempo e, por essa razão, d Φ B d t > 0 durante o tempo o t p .
  2. Na situação ( i i ) não há corrente induzida, pois o fluxo magnético é sempre constante e igual a Φ B = B a 2 em todo o percurso da espira. Existe fluxo magnético, mas ele permanece o mesmo durante todo o tempo t p - t l que a espira fica totalmente dentro da região de campo.
  3. Na situação ( i i i ) , a espira começa a sair da região de campo e a área atravessada pelas linhas de  B → diminui com o tempo. O fluxo magnético é positivo, como em todos os casos deste problema, porém, à medida que o tempo passa, seu valor diminui até se anular completamente, que é quando a espira está toda fora da região de campo. Por isso, do tempo t l até o instante t l + t p , d Φ B d t < 0 .

Se juntamos essas informações sobre o intervalo de tempo e sobre o fluxo magnético na espira, construímos o seguinte gráfico.

Para plotarmos a corrente induzida em função do tempo, precisamos nos lembrar que

  1. Na situação ( i ) , a corrente induzida é negativa e tem módulo I i n d = B a v / R durante o intervalo de tempo t p = a / v .
  2. Na situação ( i i ) , a corrente induzida é nula no intervalo de tempo t l - t p .
  3. Na situação ( i i i ) , a corrente induzido é positiva e tem módulo I i n d = B a v / R .
  4. Depois que a espira sai totalmente do campo, não há mais fluxo magnético, por isso a corrente induzida depois de um tempo t > t l + t p é nula.

Resposta

a)

Na situação ( i )

I i n d ( i ) = B a v R

Sentido: Anti-horário

Na situação ( i i )

I i n d ( i i ) = 0

Na situação i i i

I i n d ( i i i ) = B a v R

Sentido: Horário

b)

Na situação ( i )

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

Na situação ( i i )

F → R = 0 x ^

Na situação i i i

F → R = - B 2 a 2 v R   x ^

c)

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44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v