Um arame metálico, de resistência desprezível, forma um circuito circular, de raio r   =   0,20   m , contendo um capacitor de capacitância C   =   4,0   μ F , em série com um resistor de resistência igual a   R   =   2,0   k Ω , como mostrado na figura 1. Este arame se encontra no plano x-y. A este sistema é aplicado um campo magnético, uniforme no espaço, dado por t > 0 ,   B →   ( t )   =   B 0   λ   t   z ̂ , onde B 0   =   1,0   T e λ =   0,5   s - 1 .

a) Calcule a f . e . m . instantânea sobre o aro como função do tempo.

b) Supondo que, em t = 0 s, o capacitor estava descarregado e a corrente no aro era nula, obtenha a carga instantânea sobre o capacitor e a corrente sobre o aro como função do tempo.

c) Calcule a potência total dissipada no resistor quando t → ∞ .

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Letra (a):

A f e m surge da variação do fluxo sobre a espira, certo? O fluxo magnético é:

Φ = B A c o s θ

Como o campo é na direção de + z e o vetor normal à área da espira, então o ângulo entre eles é 0 e c o s 0 = 1 . A única quantidade que varia com o tempo é o campo, então derivando em relação ao tempo o fluxo, temos a fem induzida:

ϵ = d Φ d t = d d t B 0 λ t   . π r 2 = B 0 λ π r 2

Os dados são:

B 0 = 1 T

r = 0,2 m

λ = 0,5 s - 1

Agora é só substituir:

ϵ = 1.0,5 . π 0,2 2 = 0,0628 V

Tranquilo?

Passo 2

Quando olhamos para a espira como um circuito, temos um circuito R C . A equação diferencial que descreve esse circuito é:

ϵ = R d q d t + q C

E a solução da carga (carregamento do capacitor) em função do tempo para essa equação é:

q t = C ϵ 1 - e - t R C

Os dados são:

R = 2 × 10 3 Ω

C = 4 × 10 - 6 F

ϵ = 0,0628 V

Agora é só substituir:

R C = 2 × 10 3 . 4 × 10 - 6 = 8 × 10 - 3

E a carga em função do tempo é:

q t = 4 × 10 - 6 . 0,0628 1 - e - t 8 × 10 - 3

q t = 2,512 × 10 - 7 1 - e - t 8 × 10 - 3

E agora a corrente. Na situação de carregamento, a expressão para corrente num circuito R C é:

i t = ϵ R e - t R C = 0,068 2 × 10 3 e - t 8 × 10 - 3

i t = 3,14 × 10 - 5 e - t 8 × 10 - 3

Beleza até aqui?

Passo 3

Letra (c):

E a potência dissipada pelo resistor é:

P = ϵ 2 R = 0,0628 2 2 × 10 3 = 1,97 × 10 - 6 W

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) 0,0628 V

b q t = 2,512 × 10 - 7 1 - e - t 8 × 10 - 3

i t = 3,14 × 10 - 5 e - t 8 × 10 - 3

( c ) 1,97 × 10 - 6 W

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 3,00 A .
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v