Considere uma espira circular, flexível e condutora de raio variável no tempo  R t , imersa em um campo magnético uniforme, perpendicular ao seu plano. Para manter uma força eletromotriz variando linearmente com o tempo t , o seu raio deveria variar de acordo com (onde a é uma constante):

Passo 1

O primeiro passo aqui, galera, é identificar o assunto da questão. Discutindo, rapidão, o enunciado, a gente tem o seguinte:

  1. Uma espira circular e condutora, por isso é fácil medir uma corrente que eventualmente passe por ela;
  2. Além disso, essa espira, que tem o raio R t variável (por isso flexível!), delimita uma área variável;
  3. Um campo magnético, que é o mesmo em todo os pontos do espaço em todo o tempo, ou seja, uniforme e constante.

Então, já sacou, né? Um vetor passando por uma área, logo vem na cabeça a ideia de fluxo e, no caso, de fluxo magnético:

Φ B = ∫   B →   .   d A →

em que   d A → = n ^   d A é área da espira n ^ é a direção do vetor área perpendicular à superfície. Como tem um produto escalar aí na expressão, a gente precisa definir bem a direção dos vetores   B → e   d A → . Vamos colocar, por exemplo, como está na figura: os dois paralelos apontando para cima.

Passo 2

Bom, agora, se tem força eletromotriz, então deve haver variação do fluxo magnético com o tempo. Mas, olha bem para espira: o campo é sempre o mesmo em todo lugar o todo tempo todo, ou seja, ele é uniforme e constante e a espira não está girando. Então, o que é que tá fazendo o fluxo variar no tempo? O raio R t e, portanto, a área da espira é que vai variar no tempo!

Como o campo é constante, e colocando o elemento de área   d A → apontando na mesma direção de   B → como na figura, o fluxo fica escrito como:

Φ B = B A = B π R t 2

Passo 3

Agora que já sabemos o fluxo, derivamos em relação ao tempo (lembrando da regra da cadeia!), para obter (tomando apenas o módulo da força eletromotriz):

ε = d Φ B d t = 2 π B R t d R ( t ) d t

Passo 4

Para que ε varie linearmente com o tempo, como pede a questão, devemos derivar R ( t ) e multiplicar por ele mesmo (aproveita para dar uma olhada verificar isso na equação do Passo 3!) e obter o comportamento de uma reta. Portanto, o próprio raio R ( t ) deve ser uma função linear do tempo:

R t = a t .

Resposta

Derivando o raio   R t = a t (resposta da letra a) e substituindo em ε , temos

ε = 2 π a 2 B t

que varia linearmente com o tempo t , como pedido na questão.

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 3,00 A .
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v