Em uma região de campo magnético uniforme B   =   B ( t )   z , um aro condutor circular de raio r ( t ) está localizado no plano x , y   ( r 2 ( t )   =   x 2 +   y 2 ) . Suponha que a resistência deste aro seja constante e igual a R . Suponha que:

B t = B 0 ( 1 + t / τ )

r t = r 0 1 + t τ ,

Onde τ é uma constante de tempo desconhecida.

  1. Desenhe um esquema mostrando o aro, a direção do campo magnético, a direção da corrente induzida no aro e a força sobre o aro devida ao campo magnético.
  2. Calcule o fluxo magnético e a f e m E ( t ) sobre o aro. Obtenha expressões para a corrente induzida i D e para o valor da força magnética agindo sobre um segundo do aro de comprimento d l .
  3. Calcule a potencia instantânea dissipada P d i s s ( t ) no aro por efeito Joule.
  4. Suponha que forças externas agindo uniformemente sobre o aro, na direção radial, são responsáveis pelo aumento do raio do aro. Calcule a potência P e x t ( t ) em um certo instante de tempo t que as forças externas realizam sobre o aro. Despreze qualquer energia elástica do material que constitui o aro. É possível dizer que P e x t t = P d i s s ( t ) ? Justifique sua afirmação.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

d l em verde. A força induzida é radial para dentro (representada em preto no desenho) em todos os pontos do aro e assim o campo magnético está perpendicular à página para fora. A corrente induzida está representada pelo vetor em azul. O desenho esquemático fica mais ou menos assim:

Passo 2

Letra (b):

O fluxo magnético é o produto da área pelo campo. A expressão do campo foi dada e a área é a área da espira de raio r 0 , então o fluxo é:

Φ = π r 0 2 B 0 ( 1 + t / τ )

A fem induzida é dada pela derivada temporal do fluxo, então vamos à derivada:

ϵ = - d Φ d t = - π r 0 2 B 0 τ

E a corrente induzida é dada pela lei de ohm “quem vê U RI”:

ϵ = R i D

i D = - π r 0 2 B 0 R τ

E a força magnética é radial para dentro agindo sobre o elemento de aro é:

d F = i D . d l   B . s e n θ = - π r 0 2 R τ . d l B 0 2 R ( t + τ )

Tranquilo?

Passo 3

Letra (c):

Agora queremos saber a potencia dissipada por efeito joule. Com uma resistência R e corrente i a potencia dissipada é:

P d i s s = R i 2

Agora é só substituir:

P d i s s = R i D 2 = R - π r 0 2 B 0 R τ 2

P d i s s = π 2 r 0 4 B 0 2 R τ 2

Vamos para o último item?

Passo 4

Letra (d):

A força externa aumenta o aro a uma taxa de:

d r t d t = d d t r 0 1 + t τ = r 0 τ = v 0 = c t e

Assim, a potencia externa realizada pela força externa, que se opõe á força magnética apenas (o aro não gira, é sempre bom lembrar!) é positiva (ambas, força externa e velocidade do elemento do aro ao radiais para fora):

d P e x t = d F e x t . d d t r t = π r 0 2 . d l . B 0 2 R ( t + τ ) v 0

= π r 0 3 d l B 0 2 R τ ( t + τ )

E somando sobre todos os elementos temos que d l = 2 π r ( t ) , daí a potência externa fica:

P e x t = π r 0 3 2 π r 0 1 + t τ B 0 2 R τ 2 ( t + τ )   = 2 π 2 r 0 4 B 0 2 R τ 2 = 2 P d i s s

A razão para a potencia externa ser maior que a potencia dissipada é que alem de injetar a energia perdida na resistência R , a potência injetada tem que alimentar de energia um indutor cada vez maior, o aro! Olha que louco!

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )  

b ) Φ = π r 0 2 B 0 ( 1 + t / τ )

ϵ = - d Φ d t = - π r 0 2 B 0 τ

i D = - π r 0 2 B 0 R τ

d F = - π r 0 2 R τ . d l B 0 2 R ( t + τ )

c ) P d i s s = π 2 r 0 4 B 0 2 R τ 2

d ) P e x t = 2 P d i s s

A razão para a potência externa ser maior que a potência dissipada é que alem de injetar a energia perdida na resistência R , a potência injetada tem que alimentar de energia um indutor cada vez maior, o aro!

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 3,00 A .
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v