Uma espira quadrada de lado 2 b é percorrida por uma corrente no sentido anti-horário. A corrente varia com o tempo e é dada por I t = C t , onde C > 0 é uma constante.

(a) Usando a lei de Biot-Savart, calcule o vetor campo magnético produzido pela espira quadrada na origem do sistema de coordenadas.

(b) Considere um anel condutor de raio a ≪ b centrado na origem. Calcule a corrente induzida no anel pela espira quadrada e indique seu sentido. Considere que o anel possui resistência R . Sugestão: Assuma que o campo magnético produzido pela espira quadrada é uniforme próximo à origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

A lei de Biot-Savart nos diz que:

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2 .

Vamos começar calculando B → para um dos lados (o da direita):

d B 1 → = μ 0 4 π I d l sen ⁡ α l 2 + b 2 k ^ ,

d B 1 → = μ 0 4 π I b d l l 2 + b 2 3 / 2 k ^ .

onde α é o ângulo entre d l → e r ^ e r 2 = l 2 + b 2 . Temos que:

B 1 → = μ 0 I 4 π k ^ ∫ - b b b   d l l 2 + b 2 3 / 2 .

Fazemos l = b tan ⁡ θ → d l = b sec 2 ⁡ θ d θ . Temos:

B 1 → = μ 0 I 4 π k ^ ∫ - π / 4 π / 4 b 2 sec 2 ⁡ θ d θ b 3 1 + tan 2 ⁡ θ 3 / 2 ,

B 1 → = μ 0 I 4 π b k ^ ∫ - π / 4 π / 4 d θ sec ⁡ θ = μ 0 I 4 π b k ^ ∫ - π / 4 π / 4 cos ⁡ θ d θ ,

B 1 → = μ 0 I 4 π b k ^ sen ⁡ θ - π / 4 π / 4 = μ 0 I 2 2 π b k ^ .

Por fim, como I = C t ,

B 1 → = μ 0 C t 2 2 π b k ^ .

Por simetria, o campo magnético produzido pelos quatro lados da espira é obtido como:

B → = 4 B 1 → = 2 μ 0 C t 2 π b k ^ .

Passo 2

Para o item (b), determinamos inicialmente a força eletromotriz através da lei de Faraday:

ε = - d ϕ B d t = - π a 2 d B t d t ,

ε = - 2 μ 0 C a 2 2 b .

A corrente induzida I i n d (em módulo) será dada por:

I i n d = | ε | R = 2 μ 0 C a 2 2 b R .

Para determinar seu sentido, pensamos na Lei de Lenz: o campo B t está aumentando no sentido positivo do eixo z e, portanto, o fluxo também estará. Assim sendo, a corrente induzida se opõe a esse crescimento, gerando uma corrente no sentido horário.

Resposta

(a) B → = 2 μ 0 C t 2 π b k ^ .

(b) I i n d = 2 μ 0 C a 2 2 b R , no sentido horário.

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44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v