A figura ao lado mostra uma barra de comprimento L que se move com velocidade constante v → ao longo de trilhos paralelos ao eixo x , conectados por um segmento contido no eixo y . Os trilhos e o segmento são condutores, fixos e indeformáveis e o plano x y é horizontal. No eixo x existe um fio muito comprido percorrido por uma corrente i que cria um campo magnético não uniforme dado pela Lei de Ampère.

a ) Encontre a força eletromotriz induzida na barra.

b ) Supondo que a resistência da barra vale R e as dos trilhos e do segmento são desprezíveis, calcule a corrente induzida e indique o seu sentido.

c ) Calcule a força realizada por um agente externo para manter a barra se deslocando com velocidade constante. Indique o sentido da força externa.

Passo 1

a ) Encontre a força eletromotriz induzida na barra.

Vamos ter que passar por algumas etapas antes de encontrar a f e m induzida... vamos nessa.

A f e m induzida é determinada pela lei de Faraday, dada por:

ε i n d = - ∂ ϕ B ∂ t

Beleza, então vamos precisar calcular o fluxo magnético, que é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Pra isso vamos precisar calcular o campo magnético gerado pelo fio, que é dado através da lei de Ampère:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Acabou, esse são, basicamente, os três passos que vamos ter que seguir para calcular a f e m induzida na barra, ok?

Passo 2

Vamos começar calculando o campo magnético gerado pelo fio para y > 0 (que é onde está a espira).

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

A amperiana aqui será uma circunferência de raio y que engloba o fio de corrente i , logo:

2 π y B = μ 0 i

B = μ 0 i 2 π y

De acordo com a regra da mão direita, o campo magnético, na região da espira, estará saindo do plano da página:

B → = μ 0 i 2 π y z ^

Passo 3

O fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

O elemento de área d A será:

d A → = x   d y   z ^

a < y < L + a

Logo:

ϕ B = ∫ a L + a μ 0 i 2 π y z ^ ∙ x   d y   z ^

ϕ B = μ 0 i x 2 π ∫ a L + a d y y

ϕ B = μ 0 i x 2 π ln ⁡ L + a a

Passo 4

Finalmente, a f e m induzida será:

ε i n d = - ∂ ϕ B ∂ t

Substituindo a expressão de ϕ B que acabamos de calcular, teremos:

ε i n d = - ∂ ∂ t μ 0 i x 2 π ln ⁡ L + a a

ε i n d = - μ 0 i 2 π ln ⁡ L + a a ∂ x ∂ t

Onde v = d x d t , logo:

ε i n d = - μ 0 i v 2 π ln ⁡ L + a a

ε i n d = μ 0 i v 2 π ln ⁡ L + a a

Passo 5

b ) Supondo que a resistência da barra vale R e as dos trilhos e do segmento são desprezíveis, calcule a corrente induzida e indique o seu sentido.

A corrente induzida será dada por:

I i n d = ε i n d R

Logo:

I i n d = μ 0 i v 2 π R ln ⁡ L + a a

O sentido da corrente é determinado pela lei de Lenz, que diz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela diz é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

O fluxo magnético é dada por:

ϕ B = μ 0 i x 2 π ln ⁡ L + a a

A derivada temporal do fluxo magnético será:

∂ ϕ B ∂ t = μ 0 i v 2 π ln ⁡ L + a a

∂ ϕ B ∂ t > 0

Sendo assim, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Como o campo magnético externo está no sentido do vetor + z ^ , o campo magnético induzido estará no sentido oposto, ou seja, no sentido do vetor - z ^ , entrando no plano da página.

De acordo com a regra da mão direita, para que o campo magnético induzido esteja entrando no plano da página, a corrente induzida deve estar no sentido horário.

Passo 6

c ) Calcule a força realizada por um agente externo para manter a barra se deslocando com velocidade constante. Indique o sentido da força externa.

A força externa F → e x t deve ter o mesmo módulo e direção da força magnética gerada sobre a barra F → B , porém, as duas devem ter sentidos opostos.

A força magnética sobre a barra será dada por:

F → B = ∫ c o r p o   I   d l → × B →

Onde d l → deve ter a mesma direção e sentido da corrente na barra (que está no sentido horário):

I = I i n d = μ 0 i v 2 π R ln ⁡ L + a a

B → = μ 0 i 2 π y z ^

d l → = d y - y ^

a < y < L + a

Substituindo esses caras na expressão de F → B , teremos:

F → B = μ 0 i v 2 π R ln ⁡ L + a a ∫ a L + a μ 0 i 2 π y d y - y ^ × z ^

F → B = μ 0 2 i 2 v 4 π 2 R ln ⁡ L + a a ∫ a L + a d y y - x ^

F → B = μ 0 2 i 2 v 4 π 2 R ln ⁡ L + a a ln ⁡ L + a a - x ^

F → B = μ 0 2 i 2 v 4 π 2 R ln 2 ⁡ L + a a - x ^

Conforme dissemos anteriormente:

F → e x t = - F → B

F → e x t = μ 0 2 i 2 v 4 π 2 R ln 2 ⁡ L + a a x ^

Resposta

a )

ε i n d = μ 0 i v 2 π ln ⁡ L + a a

b )

I i n d = μ 0 i v 2 π R ln ⁡ L + a a

A corrente induzida estará no sentido horário.

c )

F → e x t = μ 0 2 i 2 v 4 π 2 R ln 2 ⁡ L + a a x ^

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