Um fio de massa m , comprimento l e resistência R pode deslizar sem atrito, apoiado em dois trilhos horizontais, condutores e de resistência desprezível. Eles são ligados na extremidade esquerda por uma peça condutora, de modo que o conjunto todo forme uma espira condutora retangular.

Na região dos trilhos existe um campo magnético vertical uniforme B → 0 e o fio de massa m é puxado para a direita por uma força de módulo constante F 0 .

a ) Calcule a f e m e a corrente induzida no fio, indicando seus sentidos;

b ) Calcule a força magnética que age sobre o fio, em função de sua velocidade;

c ) Calcule a velocidade terminal (para t → ∞ ) do fio;

d ) Quando o fio atinge essa velocidade, qual é a potência dissipada nele?

Passo 1

a ) Calcule a f e m e a corrente induzida no fio, indicando seus sentidos;

A f e m   induzida é calculada a partir da lei de Faraday, dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Então precisamos calcular primeiro o fluxo magnético através da espira, que é dado por:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Como o campo magnético é constante, com módulo igual a B 0 , podemos reescrever o fluxo magnético como:

ϕ B = B 0 A

Onde A = l x t , logo:

ϕ B = B 0 l x t

Substituindo ϕ B na expressão de ε , teremos:

ε = - ∂ ∂ t B 0 l x t

ε = - B 0 l ∂ x t ∂ t

Sabendo que a velocidade do fio é dada por v = ∂ x t / ∂ t , podemos dizer que:

ε = - B 0 l v

Assim, a f e m é dada por:

ε = B 0 l v

Passo 2

A corrente induzida é dada por:

I i n d = ε R

I i n d = B 0 l v R

O sentido da corrente é determinado pela lei de Lenz, que diz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela diz é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

O fluxo magnético é dado por:

ϕ B = B 0 l x t

Logo:

∂ ϕ B ∂ t = B 0 l ∂ x t ∂ t = B 0 l v

∂ ϕ B ∂ t > 0

Assim, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo, ou seja, o campo magnético induzido estará entrando no plano da página.

Para que o campo magnético induzido tenha esse sentido, a corrente induzida deve estar no sentido horário.

Passo 3

b ) Calcule a força magnética que age sobre o fio, em função de sua velocidade;

A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F → B = I L → × B →

Onde o vetor L → tem a mesma direção e sentido da corrente no fio, logo:

L → = l - y ^

B → = B 0 z ^

I = I i n d = B 0 l v R

Substituindo esses caras na expressão de F → , teremos:

F → B = B 0 l v R l - y ^ × B 0 z ^

F → B = B 0 2 l 2 v R - y ^ × z ^

F → B = - B 0 2 l 2 v R x ^

Assim, o módulo da força magnética será:

F → B = B 0 2 l 2 v R

Passo 4

c ) Calcule a velocidade terminal (para t → ∞ ) do fio;

O fio está sendo puxado para a direita por uma força F 0 e, devido à variação do fluxo magnético na espira, aparece uma força F B na direção oposta.

O fio alcançará a velocidade terminal quando

F 0 = F B

Assim, a força resultante sobre o fio será nula e ele permanecerá se movendo com velocidade v t e r m constante.

F 0 = B 0 2 l 2 v t e r m R

v t e r m = F 0 R B 0 2 l 2

Passo 5

d ) Quando o fio atinge essa velocidade, qual é a potência dissipada nele?

A potência dissipada no fio será:

P o t = R I i n d 2

Substituindo a expressão de I i n d , teremos:

P o t = R B 0 l v t e r m R 2

Onde v t e r m nós acabamos de calcular:

P o t = R B 0 l R   F 0 R B 0 2 l 2 2

P o t = R   F 0 B 0 l 2

P o t = F 0 2 R B 0 2 l 2

Resposta

a )

ε = B 0 l v

I i n d = B 0 l v R

A corrente induzida está no sentido horário.

b )

F → B = B 0 2 l 2 v R

c )

v t e r m = F 0 R B 0 2 l 2

d )

P o t = F 0 2 R B 0 2 l 2

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44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v