Exercícios Resolvidos de Variações do Fluxo Magnético

PUCRIO – Prova 3 – 2014.1 – Questão nº1

Uma barra condutora de comprimento L = 40   c m é apoiada sobre trilhos condutores fixos e indeformáveis, definindo um circuito retangular, mostrado na figura. A resistência equivalente do circuito é constante e vale R = 0,002 Ω . Parte da superfície deste circuito é penetrada perpendicularmente por um campo magnético constante e uniforme de módulo B = 0,2   T , entrando na página.

Por um mecanismo não mostrado na figura, a barra é forçada a oscilar, de modo que sua posição descreve um MHS (movimento harmônico simples), com equação dada por:

x t = 100 + 10 . cos π 10 . t     [ c m ,   s ]

a ) Calcule a fem induzida no circuito como uma função do tempo, ε i n d ( t ) .

b ) Calcule o valor máximo da corrente induzida, i m á x .

c ) Em uma nova situação, a barra é deixada em repouso na posição x = 100   c m e o campo magnético, sem mudar sua orientação, varia no tempo de acordo com a função:

B t = 0,3 . e - 10 t   [ T , s ]

Encontre o valor máximo da corrente induzida.

Passo 1

a )    

Para determinar a fem induzida, vamos utilizar a Lei de Faraday, ela dos diz:

E = - ϕ B t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = S B d A

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ( B . L . x ) t

ε = - B . L . x t

Sabemos como x varia em função de t , pela equação que foi dada no enunciado:

x t = 100 + 10 . cos π 10 . t     [ c m ,   s ]

Calculando a derivada, temos:

x t = - 10 . π 10 . sen π 10 . t

Substituindo na Lei de Faraday:

ε = - B . L . - 10 . π 10 . sen π 10 . t

Vamos agora substituir os valores do campo e do comprimento da barra!

ε = 0,2 10 4 . 40 .   10 . π 10 . sen π 10 . t

ε ( t ) = π . 8 × 10 - 4 . sen π 10 . t

De onde surgiu aquele 10 - 4 na fórmula acima?

Bom, o campo é dado em Tesla, ou seja, V . s . m - 2 , no entanto, estamos utilizando a unidade centímetros e não metros. Por isso devemos dividir por 10 4 , para que a unidade do campo vire V . s . c m 2 ! Show??

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Vamos determinar a corrente em função do tempo. Temos a nossa velha e conhecida fórmula:

i = ε R

Substituindo a função da fem, temos;

i = π . 8 × 10 - 4 0,002 . sen π 10 . t

i = 0,4 . π . sen π 10 . t

A corrente máxima ocorre quando sen π 10 . t = 1 , portanto:

i m á x = 0,4 . π   A

Passo 3

c )

Para resolver esse item, vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item a só que agora, temos x como valor fixo e quem varia é o campo B .

Vamos começar com a Lei de Faraday:

E = - ϕ B t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = S B d A

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ( B . L . x ) t

ε = - L . x B t

Vamos agora calcular a derivada do campo magnético, se liga:

B t =   0,3 . - 10 . e - 10 t  

B t =   - 3,0 . e - 10 t

Substituindo na equação da tensão, e substituindo os valores de L e x , temos:

ε = - L . x B t

ε = - L . x - 3,0 . e - 10 t

ε = - 0,4 .   1 . - 3,0 . e - 10 t

ε = 1,2 . e - 10 t

Veja que dessa vez estamos passando tudo para metro, pois o campo está em Tesla V .   s .   m - 2 !

A corrente é dada por:

i = ε R

i = 1,2 . e - 10 t 0,002

i = 600 . e - 10 t

A corrente máxima ocorre quando e - 10 t = 1 , ou seja:

i m á x = 600   A

Resposta

a )   ε ( t ) = π . 8 × 10 - 4 . sen π 10 . t .

b )   i m á x = 0,4 . π   A .

c )   i m á x = 600   A .

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