Uma barra condutora de comprimento L = 40   c m é apoiada sobre trilhos condutores fixos e indeformáveis, definindo um circuito retangular, mostrado na figura. A resistência equivalente do circuito é constante e vale R = 0,002 Ω . Parte da superfície deste circuito é penetrada perpendicularmente por um campo magnético constante e uniforme de módulo B = 0,2   T , entrando na página.

Por um mecanismo não mostrado na figura, a barra é forçada a oscilar, de modo que sua posição descreve um MHS (movimento harmônico simples), com equação dada por:

x t = 100 + 10 . cos ⁡ π 10 . t     [ c m ,   s ]

a ) Calcule a fem induzida no circuito como uma função do tempo, ε i n d ( t ) .

b ) Calcule o valor máximo da corrente induzida, i m á x .

c ) Em uma nova situação, a barra é deixada em repouso na posição x = 100   c m e o campo magnético, sem mudar sua orientação, varia no tempo de acordo com a função:

B t = 0,3 . e - 10 t   [ T , s ]

Encontre o valor máximo da corrente induzida.

Passo 1

a )    

Para determinar a fem induzida, vamos utilizar a Lei de Faraday, ela dos diz:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ∂ ( B . L . x ) ∂ t

ε = - B . L . ∂ x ∂ t

Sabemos como x varia em função de t , pela equação que foi dada no enunciado:

x t = 100 + 10 . cos ⁡ π 10 . t     [ c m ,   s ]

Calculando a derivada, temos:

∂ x ∂ t = - 10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

Substituindo na Lei de Faraday:

ε = - B . L . - 10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

Vamos agora substituir os valores do campo e do comprimento da barra!

ε = 0,2 10 4 . 40 .   10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

ε ( t ) = π . 8 × 10 - 4 . sen ⁡ π 10 . t

De onde surgiu aquele 10 - 4 na fórmula acima?

Bom, o campo é dado em Tesla, ou seja, V . s . m - 2 , no entanto, estamos utilizando a unidade centímetros e não metros. Por isso devemos dividir por 10 4 , para que a unidade do campo vire V . s . c m 2 ! Show??

Passo 2

b )

Vamos determinar a corrente em função do tempo. Temos a nossa velha e conhecida fórmula:

i = ε R

Substituindo a função da fem, temos;

i = π . 8 × 10 - 4 0,002 . sen ⁡ π 10 . t

i = 0,4 . π . sen ⁡ π 10 . t

A corrente máxima ocorre quando sen ⁡ π 10 . t = 1 , portanto:

i m á x = 0,4 . π   A

Passo 3

c )

Para resolver esse item, vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item a só que agora, temos x como valor fixo e quem varia é o campo B .

Vamos começar com a Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ∂ ( B . L . x ) ∂ t

ε = - L . x ∂ B ∂ t

Vamos agora calcular a derivada do campo magnético, se liga:

∂ B ∂ t =   0,3 . - 10 . e - 10 t  

∂ B ∂ t =   - 3,0 . e - 10 t

Substituindo na equação da tensão, e substituindo os valores de L e x , temos:

ε = - L . x ∂ B ∂ t

ε = - L . x - 3,0 . e - 10 t

ε = - 0,4 .   1 . - 3,0 . e - 10 t

ε = 1,2 . e - 10 t

Veja que dessa vez estamos passando tudo para metro, pois o campo está em Tesla V .   s .   m - 2 !

A corrente é dada por:

i = ε R

i = 1,2 . e - 10 t 0,002

i = 600 . e - 10 t

A corrente máxima ocorre quando e - 10 t = 1 , ou seja:

i m á x = 600   A

Resposta

a )   ε ( t ) = π . 8 × 10 - 4 . sen ⁡ π 10 . t .

b )   i m á x = 0,4 . π   A .

c )   i m á x = 600   A .

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44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v