Um bastão retilíneo, de comprimento a , massa m e resistência R , desliza, sem atrito, sobre um fio (rígido) condutor ideal (sem resistência), em forma de U . O sistema todo está completamente imerso em uma região de campo magnético constante (estacionário e uniforme), perpendicular ao plano que contém o sistema. Inicialmente, uma força externa é aplicada e o bastão move-se com uma velocidade constante v → 0 para a direita. A partir do instante t = 0 , essa força externa deixa de agir e o bastão passa a mover-se apenas sob a ação da força magnética, com velocidade v → t . Despreza a capacitância e a autoindutância do sistema, assim como a corrente de deslocamento.

  1. Qual é o módulo da força eletromotriz induzida no circuito (fio + bastão)?
  2. Qual é o módulo da (intensidade de) corrente elétrica que passa pelo bastão e o seu sentido?
  3. Qual é a força magnética (vetorial) sobre o bastão?
  4. Qual é a velocidade (vetorial) do bastão como função explícita do tempo, para t > 0 ?

Passo 1

A força eletromotriz pode ser calculada pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Precisamos calcular a taxa de variação do fluxo magnético. O fluxo é dado pela fórmula:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

O campo pode ser escrito, de acordo com o enunciado, pela expressão:

B → = B - z ^

Onde B é uma constante positiva. Arbitremos nossa área no sentido positivo de z ^ . Portanto o produto escalar fica:

B → ∙ d A → = - B d A

Substituindo da fórmula, puxamos a constante para fora:

ϕ B = - B ∬ S d A

Que resulta na área do retângulo de dimensões:

Portanto o fluxo é:

ϕ B = - B a x

Onde x é uma função do tempo, pois a barra se move.

Passo 2

Substituindo na Lei de Faraday:

E = - ∂ - B a x ∂ t

Puxando as constantes pra fora derivamos x com respeito ao tempo:

E = B a ∂ x ∂ t

Que é a conhecida expressão do módulo da velocidade:

E = B a v t

Passo 3

Em seguida, gostaríamos de calcular a intensidade da corrente. Como sabemos que o circuito tem resistência R , pela Lei de Ohm:

E = R I

B a v t = R I

Logo:

I = B a v t R

Como achamos um valor positivo e arbitramos o vetor área no sentido de z ^ , temos que, pela regra da mão direita, se colocarmos nosso polegar alinhado com z ^ o sentido da corrente é dado como anti-horário.

Passo 4

Seguindo, encontramos a força magnética no bastão considerando o movimento das cargas nele:

Desconsideramos a força proveniente do movimento v → t horizontal da barra pois isto resulta numa força pra cima que é dissipada pelos trilhos. O campo magnético tentaria puxar a barra para cima mas os trilhos a manteriam fixa.

Enfim... Viagens à parte, continuamos com a conta da força:

d F → = I   d l → × B →

Já descobrimos que o sentido desse produto vetorial é para a esquerda, logo:

d F → = I B d l   - x ^

Integrando na barra toda:

F → = - I B x ^ ∫ b a r r a   d l

F → = - I B a x ^

Até aqui já deve dar pra ter ganho 80% dos pontos (olhando o gabarito na real ganhava 100%, mas isso depende da banca), mas como somos bons meninos vamos substituindo a corrente:

F → = - B 2 a 2 v t R x ^

Encontrado!

Passo 5

Agora vamos lá... A velocidade em função do tempo. Como ele deu a massa m , tá na cara que ele quer que a gente use isto. Massa cai como uma luva nas leis de Newton. Aplicando:

F → = m a →

m a → = - B 2 a 2 v t R x ^

Como sabemos que a aceleração vai ser em O x também:

m a x ^ = - B 2 a 2 v t R x ^

Agora resolvemos a equação diferencial em v prestando atenção somente nas componentes: m v ' = - B 2 a 2 v R

Passo 6

Podemos resolver esta equação diferencial por separação de variáveis:

v ' v = - B 2 a 2 R m

Integrando ambos os lados com respeito ao tempo e substituindo v ' por d v / d t :

∫ d v v . d t . d t = ∫ d v v = ∫ - B 2 a 2 R m d t

ln ⁡ v = - B 2 a 2 t R m + C

v t = e - B 2 a 2 t R m + c

Arrumando:

v t = e c e - B 2 a 2 t R m

Passo 7

Sabemos também que no instante t = 0 temos que:

v 0 = v 0

Portanto:

v 0 = e c e - B 2 a 2 R m × 0

v 0 = e c e 0

v 0 = e c

e c = v 0

Segue que:

v t = v 0 e - B 2 a 2 t R m

Resposta

a)

E = B a v t

b)

I = B a v t R

Sentido anti-horário

c)

F → = - B 2 a 2 v t R x ^

d)

v t = v 0 e - B 2 a 2 t R m

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 3,00 A .
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v