Enunciado

Uma espira retangular, de comprimento a , largura b e resistência R , é colocada na vizinhança de um fio infinitamente longo que transporta uma corrente i .

Suponha que a espira está se afastando do fio com uma velocidade constante v . Considere que a distância inicial entre a espira e o fio vale y t = 0 = c .

a Calcule o fluxo do campo magnético produzido pelo fio longo na espira em função da posição lateral y t .

b Calcule a f e m induzida e a corrente induzida na espira.

c Considere agora o caso em que a corrente no fio infinito pode variar com o tempo. Para que a f e m induzida na espira seja nula, essa corrente deve aumentar, diminuir ou se manter constante? Justifique.

Passo 1

a Calcule o fluxo do campo magnético produzido pelo fio longo na espira em função da posição lateral y t .

O fluxo magnético, por definição, é dado por:

ϕ B = ∬ B → ∙ d A →

O campo magnético aqui é o gerado pelo fio que transporta a corrente e é dado por:

B = μ 0 I 2 π y '

Onde y ' é a distância entre o fio e o ponto onde estamos calculando o campo magnético.

Utilizando a regra da mão direita, onde o polegar representa a corrente elétrica, vemos que, na região da espira o campo magnético aponta para o dentro do plano da página, perpendicular ao mesmo.

Além disso, como o campo magnético varia com y ' , podemos escrever a porção infinitesimal da área como:

d A = b   d y '

y t ≤ y ' ≤ y t + a

Como mostra a figura abaixo:

Legal! Agora vamos calcular o fluxo magnético:

ϕ B = ∫ y t y t + a μ 0 I 2 π y ' b   d y '

ϕ B = μ 0 I b 2 π ∫ y t y t + a d y ' y '

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y ' y t y t + a

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a y t

Passo 2

b Calcule a f e m induzida e a corrente induzida na espira.

A f e m induzida é obtida através da Lei de Faraday, dada por:

E i n d = - ∂ ϕ B ∂ t

Para calcular a derivada, vamos usar a seguinte expressão do fluxo magnético:

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a y t

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

Assim, teremos:

E i n d = - ∂ ∂ t μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

Da expressão do fluxo magnético somente y t varia com o tempo, então podemos tirar o resto da derivada, beleza?

E i n d = - μ 0 I b 2 π ∂ ∂ t ln ⁡ y t + a - ln ⁡ y t

Dessa forma, teremos:

E i n d = - μ 0 I b 2 π 1 y t + a - 1 y t d y t d t

Onde d y t / d t = v .

E i n d = - μ 0 I b v 2 π 1 y t + a - 1 y t

Só pra deixar mais arrumadinho:

E i n d = μ 0 I b v 2 π 1 y t - 1 y t + a

Passo 3

Beleza, agora falta calcular a corrente induzida.

Uma vez que já calculamos a f e m induzida, a corrente no circuito vai ser dada por:

I i n d = E i n d R

Logo:

I i n d = μ 0 I b v 2 π R 1 y t - 1 y t + a

Passo 4

c Considere agora o caso em que a corrente no fio infinito pode variar com o tempo. Para que a f e m induzida na espira seja nula, essa corrente deve aumentar, diminuir ou se manter constante? Justifique.

Vamos voltar para a expressão da Lei de Faraday, beleza?

E i n d = - ∂ ϕ B ∂ t

ϕ B = μ 0 I t b 2 π ln ⁡ y t + a y t

Para que a f e m induzida seja nula, é necessário que o fluxo magnético seja constante através da espira.

Conforme o valor de y t aumenta, o logaritmo diminui. Dessa forma, para que o fluxo permaneça constante, a corrente deve aumentar com o tempo.

Resposta

a

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ y t + a y t

b

E i n d = μ 0 I b v 2 π 1 y t - 1 y t + a

I i n d = μ 0 I b v 2 π R 1 y t - 1 y t + a

c

A corrente deve aumentar com o tempo.

Exercícios Relacionados

Exercícios de Livros Relacionados