Exercícios Resolvidos de Variações do Fluxo Magnético

UFRJ – Prova Final – 2014.1 – Questão Discursiva nº2.

A figura mostra uma barra retilínea condutora, de massa m , comprimento L e resistência elétrica R , movendo-se com uma velocidade constante v → ao longo de trilhos condutores, retilíneos horizontais, fixos.

Tal circuito está sob ação de um campo magnético gerado por uma corrente elétrica estacionária i fluindo por um fio retilíneo longo, paralelo à barra e no mesmo plano do circuito.

A resistência dos trilhos, assim como a capacitância e a autoindutância do circuito e a indutância mútua entre o circuito e o fio retilíneo (de corrente i ) podem e devem ser desprezadas.

a Obtenha uma expressão para a corrente elétrica no circuito, I , como função da distância x da barra ao fio.

[Sugestão: não precisa deduzir o campo magnético de uma corrente retilínea estacionária, muito longa.]

b Obtenha uma expressão para a taxa temporal de dissipação de energia, pelo efeito Joule, na barra, como função de x .

c Obtenha uma expressão para a força externa que precisa ser aplicada à barra para manter a sua velocidade constante.

Passo 1

a Obtenha uma expressão para a corrente elétrica no circuito, I , como função da distância x da barra ao fio.

Vamos por partes... Para calcular a corrente elétrica I no circuito, primeiro vamos ter que calcular a f e m induzida ε , de forma que:

I = E R

A f e m induzida, de acordo com a lei de Faraday, é dada por:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Então vamos precisar calcular o fluxo magnético, definido por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Mas antes, teremos que encontrar a expressão do campo magnético gerado pelo fio de corrente i , que é calculado através da lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Então, no fim, serão mais 4 passos... Viu o tamanho do drama?

Mas nós damos conta!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Por conta da simetria do problema, a amperiana será uma circunferência de raio x , logo:

2 π x B x = μ 0 i

B x = μ 0 i 2 π x

Pela regra da mão direita, na região da espira, o campo magnético está saindo do plano da página.

Passo 3

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

O elemento de área d A será dado por:

d A = L d x '

a ≤ x ' ≤ x

Portanto:

ϕ B = ∫ a x μ 0 i 2 π x ' L d x '

ϕ B = μ 0 i L 2 π ∫ a x d x ' x '

ϕ B = μ 0 i L 2 π ln ⁡ x a

Passo 4

Pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

E = - ∂ ∂ t μ 0 i L 2 π ln ⁡ x a

E = - μ 0 i L 2 π v x

E = - μ 0 i L v 2 π x

Passo 5

A corrente será dada por:

I = E R

I = μ 0 i L v 2 π R x

Passo 6

b Obtenha uma expressão para a taxa temporal de dissipação de energia, pelo efeito Joule, na barra, como função de x .

A “taxa de dissipação de energia” é a mesma coisa que “potência dissipada”, que é dada por:

P = E 2 R

Logo:

P = 1 R μ 0 i L v 2 π x 2

P = μ 0 2 i 2 L 2 v 2 4 π 2 x 2 R

Passo 7

c Obtenha uma expressão para a força externa que precisa ser aplicada à barra para manter a sua velocidade constante.

Para manter a barra com velocidade constante, a força externa deve ter a mesma direção da força magnética sobre a barra, o mesmo sentido, porém sentidos opostos, de forma que:

F → B + F → e x t = 0 → F → e x t = - F → B

A força magnética sobre a barra é dada por:

F B = I L B

Logo:

F B = μ 0 i I L 2 π x

Substituindo o a expressão de I , teremos:

F B = μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R

F → B = - μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R x ^

Portanto:

F → e x t = - F → B

F → e x t = μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R x ^

Resposta

a

I = μ 0 i L v 2 π R x

b

P = μ 0 2 i 2 L 2 v 2 4 π 2 x 2 R

c

F → e x t = μ 0 2 i 2 L 2 v 4 π 2 x 2 R x ^

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