Um solenoide com comprimento muito maior do que o seu raio (solenoide ideal) tem o eixo de simetria coincidente com o eixo y , e é atravessado por uma corrente I S (conhecida) em direção anti-horária (veja a figura).

A densidade linear de voltas do solenoide varia com a coordenada y e é dada pela equação n S y = n 0 + A y 2 . Uma espira condutora circular de resistência elétrica R e raio r E (conhecidos) é introduzida no solenoide e é colocada no instante de tempo t = 0 no início do solenoide y = 0 , para depois ser movida por um sistema não mostrado com velocidade constante v E → positiva ao longo do eixo y . A espira é completamente contida no solenoide (como mostrado na figura).

Nestas condições:

(a) Calcule em função do tempo o campo magnético B S → (módulo, direção e sentido) gerado pelo solenoide no centro da espira.

(b) Calcule a corrente induzida na espira.

(c) Calcule o campo magnético B E → (módulo, direção e sentido) gerado somente pela corrente induzida no centro da espira (Sugestão: utilize Biot e Savart). Qual será o campo magnético total no centro da espira?

Passo 1

Vamos utilizar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético B S → no interior do solenoide. Temos que:

∮ B S → ⋅ d l → = μ 0 I i n t .

Vamos escolher um retângulo a b c d como percurso fechado, com lado a b coincidente com o eixo do solenoide iniciando na origem até um comprimento y ^ e o lado c d paralelo ao eixo, mas do lado de fora do solenoide. Assim sendo, temos:

  1. Ao longo dos lados b c e d a , B → S é perpendicular à d l → ;
  2. Ao longo do lado c d , B S → = 0 → ; e
  3. Ao longo do lado a b , temos:

∫ a b B S → ⋅ d l → = B S y ^ .

Passo 2

Vamos analisar agora o lado direito da equação da Lei de Ampère. Precisamos calcular o número de espiras contidas no comprimento y ^ para determinar a corrente interna I i n t .

A partir da densidade linear de voltas, temos que:

N v o l t a s = ∫ 0 y ^ n 0 + A y 2 d y ,

N v o l t a s = n 0 y + A y 3 3 0 y ^ = n 0 y ^ + A y ^ 3 3 .

Portanto, a corrente total no interior do retângulo é dada por: I i n t = N v o l t a s I S . Assim sendo,

B S y ^ = μ 0 I S n 0 y ^ + A y ^ 3 3 ,

B S ( y ^ ) = μ 0 I S n 0 + A y ^ 2 3 .

Passo 3

Temos o campo magnético em função de y , agora precisamos descobrir o campo dentro da espira em função do tempo t . Bem, sabemos que a espira está se movimentando com uma velocidade v E = y / t . Logo,

B S t = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 .

Ah, não podemos nos esquecer de determinar a direção e o sentido de B S → . Pela regra da mão direita, B S → aponta para cima, direção do eixo y , sentido positivo.

Passo 4

Para calcular a corrente induzida na espira, calculamos inicialmente a fem induzida. Temos:

ε = - d Φ B d t = - A E d B S t d t ,  

ε = - π r E 2 μ 0 I s 2 A v E 2 3 t .

A corrente induzida, em módulo, é dada por:

i E = ε R = π r E 2 A v E 2 t μ 0 I s 2 3 R .

De acordo com a Lei de Lenz, como o fluxo (para cima) está aumentando, a corrente induzida deve se opor a este aumento e, portanto, tem sentido horário.

Passo 5

Agora, vamos utilizar Biot-Savart para determinar o campo B E → no centro da espira. Temos:

d B E → = μ 0 4 π i E d l → × r ^ r E 2 ,

d B E → = μ 0 4 π i E d l - j ^ r E 2 ,

B E → = - μ 0 i E 4 π r E 2 j ^ ∫ d l ,

B E → = - μ 0 i E 4 π r E 2 2 π r E j ^ = - μ 0 i E 2 r E j ^ .

Substituindo o valor de i E , chegamos em:

B E → = - μ 0 2 r E π r E 2 A v E 2 t μ 0 I s 2 3 R j ^ ,

B E → = - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^ .

Passo 6

Para terminar a questão, calculamos o campo magnético resultante B → no centro da espira:

B → = B S → + B E → ,

B → = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^ ,

Resposta

(a) B S → = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 j ^ .

(b) i E = π r E 2 A v E 2 t μ 0 I s 2 3 R . , sentido horário.

(c) B E → = - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^ . e B → = μ 0 I S n 0 + A v E 2 3 t 2 - μ 0 2 π r E A v E 2 t I s 3 R j ^

Exercícios de Livros Relacionados

Quando a corrente em uma bobina de 8 H é igual a 3 A e aumenta para 200 A / s , determine a O fluxo magnético através da bobina e ( b ) a força eletromotriz induzida na bobina.
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 3,00 A .
Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v