Exercícios Resolvidos de Vetor Deslocamento

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Enunciado

Dois objetos A e B iniciam seus movimentos, simultaneamente, nas posições   ⃗ r A   =   2   i ^   +   j ^   ( m ) e   ⃗ r B   =     i ^ -   j ^   ( m ) . Decorridos 5 segundos o corpo A chega em   ⃗ r A 1   =   10   i ^ +   7   j ^   ( m ) enquanto o corpo B chega em   ⃗ r B 1   =   9   i ^ +   5   j ^   ( m ) .

b. Supondo que os deslocamentos foram retilíneos e uniformes, calcule a distância entre os dois corpos, em função do tempo, para o intervalo 0   ≤   t   ≤   5   s e a distância entre eles para t   =   5   s .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a distância entre os dois corpos, em função do tempo, para o intervalo 0   ≤   t   ≤   5   s e a distância entre eles para t   =   5   s , supondo que os deslocamentos foram retilíneos e uniformes. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o deslocamento é dado pela diferença entre a posição final e a inicial, então para a partícula A teremos

Δ ⃗ r A = ⃗ r A 1 - ⃗ r A = (   10   i ^ +   7   j ^   ) - (   2   i ^   +   j ^   ) =   8   i ^ +   6   j ^  

e para a partícula B:

Δ → r B = r → B 1 - r → B = 9   i ^ +   5   j ^ -   i ^ -   j ^   = 8   i ^ + 6   j ^

Temos que o módulo será dado por

Δ r A = 8 2 + 6 2 = 10   m  

e para a partícula B:

Δ r B = 8 2 + 6 2 = 10   m ,

então ambas as partículas tiveram o mesmo deslocamento, e mesmo sentido, então tem a mesma velocidade!

Passo 3

Mas precisamos encontrar as equações para as velocidades, então vamos começar com o móvel A

r a = x 0 + v x t ; y 0 + v y t

No tempo t = 0 r a ( 0 ) = ( 2,1 ) então

x 0 , y 0 = ( 2,1 )

Beleza? Agora para t = 5 temos

r a 5 = ( 2 + 5 v x ; 1 + 5 v y )

E a posição precisa ser ( 10,7 ) , aí temos duas equações

2 + 5 v x = 10 → v x = 8 5

E para a componente y

1 + 5 v y = 7 → v y = 6 5

Assim a equação horária da posição para a partícula A é

r A = 2 + 8 5 t ; 1 + 6 5 t

Tranquilo? Para B o processo é o mesmo. Vamos encontrar a mesma velocidade, mudando apenas a posição inicial, assim para B

r B = 1 + 8 5 t ;   - 1 + 6 5 t

Tudo bem?

Passo 4

Agora vamos calcular a distância entre os móveis

r A - r B = x A - x B 2 + y A - y B 2

Como a velocidade é a mesma e eles estão em movimento retilíneo uniforme, a distância entre eles não irá mudar! Vamos verificar isso

r A - r B = 2 + 8 5 t - 1 - 8 5 t 2 + 1 + 6 5 t + 1 - 6 5 t 2 = 2 - 1 2 + 1 + 1 2

= 5

Viu? Independente do tempo!

Resposta

r A = 2 + 8 5 t ; 1 + 6 5 t

r B = 1 + 8 5 t ;   - 1 + 6 5 t

5

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