Exercícios Resolvidos de Vetor Deslocamento

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Enunciado

Uma partícula P percorre, com velocidade constante e no sentido anti-horário, uma circunferência de raio igual a 3,0   m e completa uma volta em 20 segundos. A partícula passa pelo ponto A em t = 0   s . Tomando a origem em O , de acordo com a figura 2.5 , determine:

(a) O módulo e a direção dos vetores que descrevem sua posição 5 , 7,5 e 10 segundos mais tarde;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar as coordenadas do vetor posição quando a partícula P parte do ponto A , em t = 0   s , e, percorrendo a circunferência no sentido anti-horário, chega em t = 5   s , t = 7,5   s e t = 10   s .

Pra isso, vamos precisar extrair as informações do raio, r = 3,0   m , e do perído, T = 20   s , dados pelo enunciado. Dessa forma, sabendo que a partícula percorreu uma fração do período, t / T , podemos encontrar o valor do ângulo percorrido e usar as relações trigonométricas:

x = r sin ⁡ θ

y = r cos ⁡ θ

para achar as coordenadas ( x ,   y ) do vetor posição naquele instante.

Vamos lá!

Passo 2

A partícula percorre um determinado tempo em relação ao período total que ela leva para dar uma volta. Então, para t = 5   s , temos:

t T = 5   s 20   s = 1 4

Assim, o ângulo descrito pela partícula pode ser dado pela relação:

θ = 1 4 360 ° = 90 °

Podemos verificar as coordenadas do ponto, usando r = 3   m e fazendo:

x = r sin ⁡ θ = 3 ∙ sin ⁡ 90 ° = 3

y = r cos ⁡ θ = 3 ∙ co s ⁡ 90 ° = 0

Sendo assim, em t = 5   s , temos x ,   y = ( 3 ,   0 ) ou, na forma vetorial:

r → 5 = 3 i →   ( m )

Passo 3

Para t = 7 , 5   s , temos:

t T = 7 , 5   s 20   s = 3 8

Assim, o ângulo descrito pela partícula pode ser dado pela relação:

θ = 3 8 360 ° = 135 °

Podemos verificar as coordenadas do ponto, usando r = 3   m e fazendo:

x = r sin ⁡ θ = 3 ∙ sin ⁡ 135 ° = 3 2 2

y = r cos ⁡ θ = 3 ∙ cos ⁡ 135 ° = - 3 2 2

Sendo assim, em t = 7 , 5   s , temos x ,   y = ( 3 2 2 ,   - 3 2 2 ) ou, na forma vetorial:

r → 7 , 5 = 3 2 2 i → - j →   ( m )

Passo 4

Para t = 10   s , temos:

t T = 10   s 20   s = 1 2

Assim, o ângulo descrito pela partícula pode ser dado pela relação:

θ = 1 2 360 ° = 1 80 °

Podemos verificar as coordenadas do ponto, usando r = 3   m e fazendo:

x = r sin ⁡ θ = 3 ∙ sin ⁡ 1 80 ° = 0

y = r cos ⁡ θ = 3 ∙ cos ⁡ 1 80 ° = 3

Sendo assim, em t = 10   s , temos x ,   y = ( 0 ,   3 ) ou, na forma vetorial:

r → 10 = 3 j →   ( m )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r → 5 = 3 i →   ( m )

r → 7,5 = 3 2 2 i → - j →   ( m )

r → 10 = 3 j →   ( m )

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