Exercícios Resolvidos de Vetor Deslocamento

Ver Teoria

Enunciado

Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x = - 5,0   m ,   y = 8,0   m   e z = 0   m . Determine o vetor posição da semente a na notação de vetores unitários e como b um módulo e c um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x . d Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro. Se a semente é transportada até as coordenadas   3 ,   00   m ,   0   m ,   0   m ,   determine seu deslocamento e na notação de vetores unitários e como f   um módulo e g um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x .

Passo 1

a   A notação de vetor unitário, basta colocar as coordenadas i ^ ;   j ^ ;     k ^   para representar os eixos x ;   y ;   z respectivamente.

no início a semente de melancia possuía as coordenadas x , y e z que vão ser as posição

r x , r y e r z do vetor r → .  

Então o vetor posição fica:

r → = - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

Passo 2

b   Vamos fazer o módulo de r →

r   = r x 2 +   r y 2 +   r z 2

Substituindo os valores temos:

r = - 5 2 + 8 2 + 0 2

r = 9,434

Passo 3

c   Para achar o ângulo entre dois vetores, vimos uma fórmula, como queremos encontrar o ângulo entre o vetor r e o eixo x   positivo, vamos encontrar o ângulo do vetor com um vetor que esteja na direção do x positivo.

Então vamos achar o vetor que representa o sentido positivo do eixo x , que é o vetor unitário x → , onde :

x → = 1 . i ^ + 0 j ^ + 0 k ^

De módulo 1

Assim podemos aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores

θ = arccos ⁡ r →   .   x → r → . x →

Já temos os módulos dos dois vetores, basta acharmos o valor do produto escalar entre eles e calcularemos esse valor por essa fórmula

r →   .   x → = r x . x x + r y . x y + r z . x z

r →   .   x → = - 5.1 + 8.0 + 0.0

r →   .   x → = - 5

Substituindo todos os valores encontrado na equação do ângulo temos

θ = arccos ⁡ - 5 9,434

θ = 122 °  

Passo 4

d   Primeiro, o que é um sistema de coordenadas dextrogiro??

É simplesmente isso:

Como as coordenadas no eixo z são zero, podemos para simplificar o desenho desenhar em duas dimensões

O ângulo theta do desenho é o ângulo encontrado anteriormente θ = 122 ° .

Passo 5

e   O vetor deslocamento é dado por

Δ r → = r → f - r → 0

Substituindo a posição inicial e a final teremos

Δ r → = 3 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ - - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

Δ r → = 8 i ^ - 8 j ^ + 0 k ^

Passo 6

f   O modulo de ∆ r →   é

∆ r = 8 2 + - 8 2 + 0

∆ r = 11,314

Passo 7

g Como fizemos no item c   vamos primeiro achar o produto escalar entre r → e x →

∆ r →   .   x → = 8.1 + 8.0 + 0.0  

∆ r →   .   x → = 8

Assim podemos aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores

θ = arccos ⁡ ∆ r →   .   x → ∆ r → . x →

Substituindo todos os valores na equação do ângulo temos

θ = arccos ⁡ 8 11,314

θ = 45 °

Resposta

a   r → = - 5 i ^ + 8 j ^ + 0 k ^

b   r = 9,434

c   θ = 122 °

e   Δ r → = 8 i ^ - 8 j ^ + 0 k ^

f   ∆ r = 11,314

g   θ = 45 °

Exercícios de Livros Relacionados

O oásis A está 90k m a oeste do oásis B . Um camelo parte de
Na Fig. 4-49, uma estação de radar detecta um avião que se a
Mostre que uma pedra atirada para cima leva o mesmo tempo na
O vetor posição de um próton é inicialmente r →=5,0 i →- 6,0