Exercícios Resolvidos de Vetor Deslocamento

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Enunciado

(a) Na Figura abaixo, um cubo de lado a tem um de seus vértices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz. Uma diagonal de centro é uma linha que vai de um vértice a outro passando pelo centro. Em termos dos vetores unitários, qual é a diagonal de centro que se estende a partir do vértice nas coordenadas (x; y; z) iguais a

(a) (0; 0; 0);

(b) (a; 0; 0);

(c) (0; a; 0),

(d) (a; a; 0)?

(e) Determine os ângulos que as diagonais de centro fazem com os lados adjacentes.

(f) Determine o comprimento das diagonais de centro em função de a.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece confusa, mas vou te ajudar! Vem comigo! Nos primeiros itens precisamos identificar qual é o ponto de vértice oposto ao dado. Bom, precisamos achar o ponto mais distante do dado (passando pelo centro) e calcular o vetor. Em cada caso vamos ver que com um desenho tudo se resolve!

E nos dois últimos itens o problema pede para calcularmos os ângulos das diagonais com os lados. Bom, nessas vamos aplicar as relações de seno e cosseno de um triângulo retângulo (afinal, relembrar é viver!)

Mas relaxa, vou fazer com você!

Vamos lá?

Passo 2

  1. Vamos encontrar o vértice oposto ao ponto (0,0,0), sempre passando pelo centro do cubo, olha só como fica no desenho:
  2. O ponto (a,a,a) é o mais distante, o ponto inicial é (0,0,0) então a diagonal é o vetor que vai do ponto final menos o inicial:

    d → = a , a , a - 0,0 , 0 = a i ^ + a j ^ + a k ^

    Beleza? Agora vamos repetir isso para os outros pontos!

  3. O ponto inicial que queremos é (a,0,0). Pelo desenho vemos que o extremo oposto é o ponto (0,a,a):

e a diagonal é a diferente entre os pontos final e inicial:

d → = 0 , a , a - a , 0,0 = - a i ^ + a j ^ + a k ^

Certo?

A ideia é repetir para todos os outros pontos! Vamos lá?

Passo 3

Letra (c): o ponto que estamos agora é o (0,a,0). Pelo desenho, o ponto oposto é o (a,0,a):

E sua diagonal é:

d → = a , 0 , a - 0 , a , 0 = a i ^ - a j ^ + a k ^

Beleza? E por fim (ufa!) o último ponto dado é o da letra (d): (a,a,0). Seu vértice oposto é o (0,0,a):

E sua diagonal:

d → = 0,0 , a - a , a , 0 = - a i ^ - a j ^ + a k ^

Tranquilo? Vamos para os ângulos?

Passo 4

Letra (e):

Agora o problema pede o ângulo entre as diagonais de centro com os lados adjacentes! Bom, essas diagonais são a das faces (como se fosse a diagonal da base, por exemplo) com a diagonal do cubo (do ponto da origem até o ponto (a,a,a) por exemplo). Vou desenhar essas duas diagonais e você vai ver que elas formam um triângulo bem conhecido:

A diagonal da base inferior é o segmento E G , que é a diagonal de um quadrado: E G = a 2 . Já a diagonal do cubo é o segmento E C = a 3 . E para determinar o ângulo θ podemos usar a função seno:

s e n θ = E G E C

s e n θ = a 2 a 3

θ = a r c s e n 2 3   = 54,73 °

Beleza? Vamos para o último item?

Passo 5

Letra (f): agora por fim queremos saber o ângulo em função do lado a. Mas isso nós já achamos! A diagonal da base é a 2 e do cubo é a 3 !

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

( a ) a i ^ + a j ^ + a k ^

( b ) - a i ^ + a j ^ + a k ^

( c ) a i ^ - a j ^ + a k ^

( d ) - a i ^ - a j ^ + a k ^

e   θ = a r c s e n 2 3   = 54,73 °

f a 2 ,   a 3  

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