Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Escreva o exercício anterior usando a notação de integral indefinida.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão é de uma lista e é meio que continuação do exercício anterior. Então vou recapitular com você o que vimos no exercício anterior.

O problema deu 3 funções e pediu para acharmos uma primitiva para cada. As funções e suas respectivas primitivas estão são essas aqui:

a )   f x = a r c s e n ( x )

F x = x   a r c s e n x + 1 - x 2

b )   f x = a r c t g ( x )

F x = x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

c )   f x = R 2 - x 2

F x = 1 2 R 2 a r c s e n x R + x R 2 - x 2

Isso significa que, em cada letra, se derivarmos F ( x ) , vamos encontrar f x ! Esse é o sentido da primitiva!

E também precisamos relembrar o conceito de p r i m i t i v a   g e r a l : é uma família de funções cuja derivada é a mesma! Como derivada de constante é zero, ao trocarmos de constante trocamos de primitiva, mas não de derivada! Então podemos adicionar um " + C " no final de cada F ( x ) e encontrar uma família de primitivas

Tranquilo até aqui?

Nossa missão agora é escrever essas primitivas e funções com a notação de integral!

Passo 2

E o que tem a ver integral indefinida? A integral indefinida de uma função f ( x ) pode ser vista como a família de primitivas de uma função! Colocamos então a função f no integrando e o resultado dessa integral é a função F (sua primitiva):

F x = ∫ f ( x ) d x

E como vimos no passo anterior, não há apenas uma primitiva, mas sim uma família de primitivas que estão associadas a mesma derivada, então podemos colocar um + C do lado esquerdo da igualdade:

F x + C = ∫ f ( x ) d x

Mas por simplicidade, vamos fazer C = 0 . Então a ideia agora é escrever cada uma com essa notação!

Começando pela (a):

a )   f x = a r c s e n ( x )

F x = x   a r c s e n x + 1 - x 2

Então na notação de integral temos:

x   a r c s e n x + 1 - x 2 = ∫ a r c s e n ( x ) d x

Lemos isso assim: a integral do arco seno de x é x   a r c s e n x + 1 - x 2 . E é isso!

Agora é só aplicar isso para as outras!

Para letra (b):

b )   f x = a r c t g ( x )

F x = x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Na notação de integral temos:

x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) = ∫ a r c t g ( x ) d x

Beleza?

E por fim a letra (c):

c )   f x = R 2 - x 2

F x = 1 2 R 2 a r c s e n x R + x R 2 - x 2

Na notação de integral:

1 2 R 2 a r c s e n x R + x R 2 - x 2 = ∫ R 2 - x 2 d x

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

x   a r c s e n x + 1 - x 2 = ∫ a r c s e n ( x ) d x

x   a r c t g x - 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) = ∫ a r c t g ( x ) d x

1 2 R 2 a r c s e n x R + x R 2 - x 2 = ∫ R 2 - x 2 d x

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