Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial:

y ' = 1 x - 1 x 3 y 1 = 2

Passo 1

Reescrever a derivada como potências de x

Beleza, vamos começar. A questão pede pra gente y x mas a gente tem y ' x . Como obter y x então? Bem, se a integral é a operação inversa da derivada, vamos ter que:

∫ f ' x d x = f x + C

A constante C a gente vai definir usando a informação que o enunciado deu de um ponto que y x passa, beleza? Então nem se preocupa com ele agora. Agora, vamos pensar em reescrever a derivada de forma que fiquem explícitas potências de x . Partiu então:

y ' x = 1 x - 1 x 3 = x - 1 - x - 3

Passo 2

Resolver a integral

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? Vê se você lembra dessa regrinha de integrais:

∫ a t b d x = a t b + 1 b + 1 + C   ,     b ∈ Z ,     b ≠ - 1

Mas cuidado aqui em! Porque vamos ter nessa integegral um b = - 1 . Nesse caso, é conveniente a gente primeiro dar uma cortada nessa integral e dividir ela em dois:

∫ y ' x d x = ∫ x - 1 - x - 3 d x = ∫ x - 1 d x - ∫ x - 3 d x

Onde a primeira integral é uma integral que a gente resolve direto, saca só:

∫ x - 1 d x =   ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

E na integral que sobrou, vamos ter então:

∫ x - 3 d x =     x - 3 + 1 - 3 + 1

∫ x - 3 d x = -   x - 2 2  

Opa, fechamos a integral. Nossa função original vai ser então:

y x = ln ⁡ x - - x - 2 2 + C

y x = ln ⁡ x + x - 2 2 + C

Passo 3

Achar o valor de C

E pra fechar com chave de ouro, só substituir onde tem x por 1 e onde tem y por 2 já que a função passa nesse ponto. Vamos lá?

y 1 = 2 = ln ⁡ 1 + 1 - 2 2 + C

2 = 0 + 1 2 + C

C = 3 2

Resposta

y x = 2 ln ⁡ x + x - 2 + 3 2

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