Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Encontre a expressão que define a função f , cujo gráfico contém o ponto 4 ; 5 3 e cuja derivada é f ' ( x ) = x ( 2 x - 1 ) .

Passo 1

Reescrever a derivada como potências de x

Beleza, vamos começar. A questão pede pra gente f x mas a gente tem f ' x . Como obter f x então? Bem, se a integral é a operação inversa da derivada, vamos ter que:

∫ f ' x d x = f x + C

A constante C a gente vai definir usando a informação que o enunciado deu de um ponto que f x passa, beleza? Então nem se preocupa com ele agora. Agora, vamos pensar em reescrever a derivada de forma que fiquem explícitas potências de x . Partiu então:

f ' x = x 2 x - 1 = ( 2 x - x )

f ' x = 2 x 1 - x 1 2

Passo 2

Resolver a integral

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? Vê se você lembra dessa regrinha de integrais:

∫ a t b d x = a t b + 1 b + 1 + C   ,     b ∈ Z ,     b ≠ - 1

Vamos ter então:

∫ f ' x d x = ∫ 2 x 1 - x 1 2 d x = 2   x 1 + 1 1 + 1 -   x 1 2 + 1 1 2 + 1

∫ f ' x d x = 2   x 2 2 -   x 3 2 3 2 = x 2 - 2 3 x 3 2 = x 2 - 2 x x 3 + C

Opa, fechamos a integral. Nossa função original vai ser então:

f x = x 2 - 2 x x 3 + C

Passo 3

Achar o valor de C

E pra fechar com chave de ouro, só substituir onde tem x por 4 e onde tem y = f x por 5 3 já que a função passa nesse ponto. Vamos lá?

f 4 = 5 3 = 4 2 - 2 . 4 4 . 3 + C

5 3 = 16.3 3 - 2.4 . 2 3 + C

C = 5 - 48 + 16 3 =   - 27 3 = - 9

Resposta

f x = x 2 - 2 x x 3 - 9

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