Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial:

f ' x = 2 cos ⁡ x - 3 c s c 2 x f π 2 = 8

Passo 1

Reescrever a integral como uma soma de integrais

Beleza, vamos começar. A questão pede pra gente f x mas a gente tem f ' x . Como obter f x então? Bem, se a integral é a operação inversa da derivada, vamos ter que:

∫ f ' x d x = f x + C

A constante C a gente vai definir usando a informação que o enunciado deu de um ponto que f x passa, beleza? Então nem se preocupa com ele agora. Agora, vamos pensar em reescrever integral. Vamos ter que calcular então:

∫ 2 cos ⁡ x - 3 c s c 2 x d x = 2 ∫ cos ⁡ x d x - 3 ∫ c s c 2 x d x

Passo 2

Resolver as integrais

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? As integrais que nós temos tem resolução direta! Da uma olhada:

2 ∫ cos ⁡ x d x = 2 sin ⁡ x

- 3 ∫ c s c 2 x d x =   3 cot ⁡ x = 3 t g x = 3 cos ⁡ x sin ⁡ x

Opa, fechamos a integral. Nossa função original vai ser então:

f x = 2 sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x sin ⁡ x + C

Passo 3

Achar o valor de C

E pra fechar com chave de ouro, só substituir onde tem x por π 2 e onde tem y = f x por 8 já que a função passa nesse ponto. Vamos lá?

f π 2 = 8 = 2 sin ⁡ π 2 + 3 cos ⁡ π 2 sin ⁡ π 2 + C

8 = 2 . 1 + 3 . 0 1 + C

C = 6

Resposta

f x = 2 sin ⁡ x + 3 cos ⁡ x sin ⁡ x + 6

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