Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Calcule as primitivas das funções abaixo:

e) q x = tan ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primitiva da função q ( x ) , que nada mais é do que a antiderivada dessa função, ou a integral. A definição mais formal é que uma função F é denominada uma primitiva de q em um intervalo se F ' x = q ( x ) para todo x nesse intervalo.

Então, temos sempre que pensar qual a função que derivada vai gerar essa função que nós queremos. E a primitiva mais geral vai ter sempre uma constante arbitrária C sendo somada a essa função.

Então, vamos analisar a função q x = tan ⁡ x e obter nossa primitiva.

Vamos lá!

Passo 2

Encontrar primitivas é basicamente encontrar o “inverso de uma derivação”. Então, vamos pensar: qual a função que quando derivada vai me dar a função tangente? Bom, não é uma resposta tão óbvia, então vamos pensar na definição da função tangente:

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Agora repara que a função seno é a derivada da função cosseno, certo? Podemos usar fazendo uma substituição, chamando u de cos ⁡ x . Assim:

u = cos ⁡ x

Dessa forma, derivando u , temos:

d u = - sin ⁡ x   d x

Então, nossa integral ficaria assim:

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x   d x = ∫ - 1 u d u

E a gente conhece a primitiva de 1 u , que é ln ⁡ u , porque a derivada de ln ⁡ u é 1 u , beleza? Assim, vamos ficar com:

- ∫ 1 u   d u = - ln ⁡ u + C

Não pode esquecer da constante C na integral indefinida.

Mas lá em cima, a gente disse que u = cos ⁡ x , então temos:

- ln ⁡ u + C = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- ln ⁡ cos ⁡ x + C

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