Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Suponha que f 0 = 5 e que f ' x = 2 para qualquer x . Obrigatoriamente, f x = 2 x + 5 para qualquer x ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Se temos f ' x = 2 , para calcular f ( x ) , devemos determinar a primitiva de f ' x .

Nesse caso, temos uma constante na derivada, ou seja, é como se tivéssemos um número vezes x 0 , de onde tiramos que escreveremos a função com x 0 + 1 = x :

f x = a x

Derivamos e comparamos com a derivada dada:

f ' x = a x ' = a

f ' x = 2

Logo, temos a = 2 . Somando a constante C na resposta, teremos:

f x = 2 x + C

Passo 2

O problema nos falou, porém, que:

f 0 = 5

Substituindo no f ( x ) geral que achamos:

f 0 = 5 = 2 ⋅ 0 + C ∴ C = 5  

Para as condições dadas, o único valor possível para C é 5. Então a resposta é sim, obrigatoriamente f x = 2 x + 5 para todo x .

Resposta

Sim

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