Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Uma função tem derivada de segunda ordem f ' ' x = 6 x - 6 . Encontre a expressão da f , sabendo que seu gráfico contém o ponto 2 ,   1 e que em tal ponto a reta tangente tem equação 3 x - y - 5 = 0 .

Passo 1

Esse é um problema de valor inicial parecido com outros que você já deve ter feito, ele só está meio disfarçado. Vamos expor os fatos pra ajudá-lo a vencer sua timidez!

Ele deu:

f ' ' x = 6 x - 6

Ele também disse que o gráfico de f contém o ponto 2 ,   1 , ou seja:

f 2 = 1

Passo 2

A última informação que foi a mais dissimulada: no ponto 2 ,   1 a reta tangente tem equação:

3 x - y - 5 = 0

⇔ y = 3 x - 5

Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto é 3 .

E a inclinação da reta tangente é dada pela derivada, certo? Logo:

f ' 2 = 3

Pronto, aí está nosso lindo problema de valor inicial:

f ' ' x = 6 x - 6 f ' 2 = 3 f 2 = 1

Passo 3

Vamos começar integrando a f ' ' pra achar f ' :

f ' x = ∫ f ' ' x d x

= ∫ 6 x - 6 d x = 3 x 2 - 6 x + C 1

Passo 4

E temos que:

f ' 2 = 3

Logo:

f ' 2 = 3.4 - 6.2 + C 1 = 3

12 - 12 + C 1 = 3

⇒ C 1 = 3

⇒ f ' x = 3 x 2 - 6 x + 3

Show de bola, vamos prosseguir.

Passo 5

Agora só falta integrar a f ' pra achar a f :

f x = ∫ f ' x d x

= ∫ 3 x 2 - 6 x + 3 d x = x 3 - 3 x 2 + 3 x + C 2

Passo 6

Lembrando que:

f 2 = 1

Vamos ter:

f 2 = 8 - 3.4 + 3.2 + C 2 = 1

8 - 12 + 6 + C 2 = 1

⇒ C 2 = - 1

⇒ f x = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1

E por hoje é tudo pessoal! ;)

Resposta

f x = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1

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