Exercícios Resolvidos de Primitivas

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 346, 21

Demonstre que

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Mesmo que

x x + 1 ≠ - 1 x + 1

Justifique sua resposta.

Passo 1

Repara que as duas expressões que a questão dá pra gente são super parecidas, vamos tentar achar uma relação entre elas. A primeira é essa aqui:

x x + 1

Vamos ao mesmo tempo somar e subtrair 1 no numerador desse cara, vê se você concorda que não estamos mudando o valor da expressão:

x + 1 - 1 x + 1

Organizando pra aparecer um termo igual ao denominador:

x + 1 - 1 x + 1

Vamos quebrar isso em duas frações:

x + 1 x + 1 - 1 x + 1

⟹ 1 - 1 x + 1

Ué, apareceu a outra expressão do enunciado, só que somada de 1 . Chegamos então nessa relação maneiríssima entre as duas expressões do enunciado:

x x + 1 = 1 - 1 x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora pegar essa relação em que chegamos e derivar dos dois lados:

d d x x x + 1 = d d x 1 - 1 x + 1

Abrindo a derivada do lado direito:

d d x x x + 1 = d ( 1 ) d x + d d x - 1 x + 1

Como derivada de constante é 0 :

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Opaaa reparou aonde nós chegamos? Ah e em momento nenhum usamos que x x + 1 = - 1 x + 1 , ou seja, essa relação entre as derivadas vale seeempre, mesmo quando essas expressões assumem valores diferentes. Então acabamos de demonstrar o que o enunciado nos pede.

Resposta

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

d e m o n s t r a ç ã o   a c i m a

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