Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n dada

y = 3 - x ² ;   n = 3

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada da função y até a ordem n . Ous eja, vamos derivar y n - v e z e s . Onde

y = 3 - x ² ;   n = 3

Vamos relembrar algumas regras de derivação

A regra da cadeia, que diz que

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

A regra do produto, que diz que

d d x f ( x ) * g ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

A regra do polinômio, que diz que

d d x x n = n x n - 1

Passo 2

Vamos derivar

y = 3 - x ² ;

  n = 3 vezes.

Vamos usar a regra do polinômio e a regra da cadeia. Temos que:

y = 3 - x ² = ( 3 - x ² ) 1 / 2

Usando a regra da cadeia e do polinômio, temos:

y ' = 1 / 2 ( 3 - x ² ) - 1 / 2 * - 2 x

Derivando novamente, e usando a regra do produto, temos:

e

y ' ' = - 1 / 4 ( 3 - x ² ) - 1 / 2 * d d x ( 3 - x ² )   * - 2 x + 1 / 2 ( 3 - x ² ) - 1 / 2 * - 2

= - 1 / 4 ( 3 - x ² ) - 1 / 2 * 4 x ² - ( 3 - x ² ) - 1 / 2

derivando a terceira vez, temos:

y ( 3 ) = d d x - ( 3 - x ² ) - 1 / 2 x ² - ( 3 - x ² ) - 3 / 2 x

= - ( 3 - x ² ) - 3 / 2 * x ³ + ( 3 - x ² ) - 1 / 2 * 2 x - ( 3 - x ² ) - 3 / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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