Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Calcule as primitivas das funções abaixo:

c) h x = sin ⁡ ( 3 x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primitiva da função h ( x ) , que nada mais é do que a antiderivada dessa função, ou a integral. A definição mais formal é que uma função F é denominada uma primitiva de h em um intervalo se F ' x = h ( x ) para todo x nesse intervalo.

No caso de funções trigonométricas temos sempre que pensar qual a função que derivada vai gerar essa função que nós queremos. E a primitiva mais geral vai ter sempre uma constante arbitrária C sendo somada a essa função.

Mas repare que em h ( x ) nós temos uma função composta, uma função seno e uma função 3 x no argumento. Quando isso acontece na derivação, nós usamos a Regra da Cadeia para derivar a função de fora aplicada na de dentro e multiplicar pela derivada da função de dentro. Mas e na primitiva?

Nesses casos, nós usamos uma integral por substituição, que vai nos permitir simplificar a expressão confusa, transformando a função interna em uma variável.

Então, vamos analisar a função h x = sin ⁡ ( 3 x ) e obter nossa primitiva.

Vamos lá!

Passo 2

Encontrar primitivas é basicamente encontrar o “inverso de uma derivação”. Então, vamos pensar nas funções trigonométricas e suas derivadas. Se a gente tiver F x = cos ⁡ x , sua derivada será F ' x = - cos ⁡ x . Então, essa não será nossa primitiva.

Precisamos levar em conta a função dentro do argumento do seno. Então, vamos chamar essa função interna de u :

u = 3 x

Tratando u como uma função implícita de x , vamos derivar essa expressão:

d u d x = 3 → d u = 3   d x

Isolando d x , temos:

1 3 d u = d x

Então, temos u = 3 x e 1 3 d u = d x . Substituindo isso na integral da função h x = sin ⁡ ( 3 x ) , temos:

∫ sin ⁡ ( 3 x ) d x = ∫ sin ⁡ u ∙ 1 3 d u

A gente pode colocar essa constante do lado de fora do sinal de integração e ficar com:

1 3 ∫ sin ⁡ u d u

Agora, olha só, caímos numa primitiva simples. Agora vamos pensar, qual é a função que derivada vai dar sin ⁡ u . A gente sabe que a derivada do cosseno é menos seno, prestando atenção no sinal, então, a primitiva do seno vai ser menos cosseno, ou seja:

1 3 ∫ sin ⁡ u d u = 1 3 ( - cos ⁡ u )

Mas lá em cima, a gente disse que u = 3 x , então temos:

1 3 - cos �� 3 x

Mas não pode esquecer da constante C , pra gente ter nossa primitiva mais geral:

- 1 3 cos ⁡ ( 3 x ) + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 1 3 cos ⁡ ( 3 x ) + C

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