Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Seja f uma função que satisfaz f 3 x = 1 + cos ⁡ x . Determine a versão mais geral possível para f .

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pede para encontrarmos a forma mais geral possível de uma função f . E nos dá a seguinte informação sobre ela:

f 3 x = 1 + cos ⁡ x

x é essa coisa aí em cima!

Calma, não desespera! Na verdade, o que o problema quer é a primitiva dessa coisa! Mas estamos acostumados a encontrar a primitiva quando temos a derivada primeira, não é mesmo?

Para encontrar a primitiva de uma derivada terceira precisamos repetir o processo de achar a primitiva mais duas vezes! E uma observação importante: quando a gente tinha que achar a primitiva, tendo a primeira derivada, nós colocávamos um “ + C ” no final, pois essa seria a forma mais geral, certo? Afinal, derivada de constante é zero e ela não iria influenciar na derivada.

Mas e quando temos a terceira derivada? Bom, aí precisamos pensar em uma função cuja derivada terceira é zero (para não influenciar na derivada que temos)?

Um polinômio de grau 2!

Então agora ao invés de colocar aquele +C no final, você deverá colocar um A x 2 + B x + C , de forma que a derivada terceira dessa coisa aí seja zero!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos resgatar lá do enunciado a derivada terceira que foi dada:

f 3 x = 1 + cos ⁡ x

Precisamos encontrar a primitiva dessa função. Mas lembrem-se: encontraremos a derivada segunda de f ! E o que queremos é a própria f ! Por isso é preciso repetir o processo de encontrar a primitiva mais duas vezes!

f ' ' ' temos:

f ' ' x = x + s e n ( x )

Beleza? Agora precisamos repetir mais 2x isso!

Passo 3

Agora nossa derivada é a segunda f ' ' e queremos sua primitiva f ' :

f ' ' x = x + s e n ( x )

A função que dá origem a essa função derivada f ' ' aí é:

f ' x = x 2 2 - cos ⁡ ( x )

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Nossa missão agora é encontrar a primitiva de

f ' x = x 2 2 - cos ⁡ ( x )

E ela será (finalmente!) nossa f ( x ) !

f x = - s e n x + x 3 6

Terminamos por aqui?

ainda não! Lembra que comentei lá no passo 1 sobre adicionar um polinômio de grau 2 como “constante”, pois a terceira derivada seria zero e essa sim seria a função mais geral? então, chegou a hora!

f ( x ) é:

f x = x 3 6 - s e n x + A x 2 + B x + C

Agora sim! Essa é a função mais geral! Esse é nosso resultado!

E tem uma forma de conferir: derivando três vezes! Se estivermos corretos, encontraremos a derivada terceira dada no problema! Mas você pode parar por aqui! Vou fazer essa verificação no passo seguinte =)

Passo 5

Verificação: vamos derivar 3x a função que encontramos f ( x ) e verificar se ela é igual a função dada no enunciado

f x = x 3 6 - s e n x + A x 2 + B x + C

Derivando uma vez:

f ' x = 3 x 2 6 - cos ⁡ x + 2 A x + B

Derivar é mais automático né? Mas calma, vai ficar mais fácil com o passar do tempo! Derivando novamente:

f ' ' x = 6 x 6 + s e n x + 2 A

E por fim, derivando a terceira vez:

f ' ' ' x = 1 + c o s ⁡ ( x )

E essa foi a função dada! Então estamos certos! E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f x = x 3 6 - s e n x + A x 2 + B x + C

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