Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Considere a função f x = x 2 - x + 7

  1. Encontre três primitivas diferentes para f
  2. Encontre uma primitiva geral para f
  3. Encontre uma primitiva F   para f que satisfaz F 3 = 5

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

f x = x 2 - x + 7 e pediu para encontrarmos 3 primitivas diferentes, uma primitiva geral e uma primitiva específica.

Vamos primeiro lembrar de alguns conceitos: primitiva é uma função que originou uma certa derivada. Por exemplo, a função x 3 dá origem à derivada de 3 x 2 , então isso significa que x 3 é a primitiva de 3 x 2

Mas não é só x 3 que ao derivar vamos obter 3 x 2 ! O polinômio ( x 3 + 7 ) , quando derivado, também resulta em 3 x 2 (já que derivada de constante é zero)

f ( x ) e variar na constante que vamos somar no final! Afinal, derivada de constante é zero e não influencia na derivada!

Seguindo nos conceitos: aqui está o conceito de p r i m i t i v a   g e r a l : é uma família de funções cuja derivada é a mesma! Como derivada de constante é zero, a família de primitivas para 3 x 2 é

x 3 + C

Onde C é uma constante qualquer

E assim vamos encontrar a resposta da letra (b)!

E para a letra (c)? Bom, o problema pede a primitiva F quando essa primitiva satisfaz a condição F 3 = 5 ! Então a partir da primitiva geral do item (b), vamos aplicar a condição dada e achar a constante C .

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): No nosso caso, f x = x 2 - x + 7 , então uma função que dá origem a ela é

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + 1

Porque se derivarmos essa função F vamos obter:

f x = 1 3 . 3 x 2 - 1 2 . 2 x 1 + 7 = x 2 - x + 7

Tranquilo até aqui?

+ 1 no final por outra CONSTANTE (derivada de constante é zero, por isso a troca não influencia na derivada)

uma segunda primitiva pode ser

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 - 1

E uma terceira

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Letra (b): agora o problema pede uma primitiva geral para f ( x ) . Como comentamos no passo 1, uma primitiva geral é uma família de primitivas cuja derivada é a mesma

E como encontramos 3 possíveis primitivas só trocando a constante final, podemos fazer isso trocando o número por + C no final:

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + 3 → F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + C

E assim temos que a família de polinômios x 3 3 - x 2 2 + 7 x + C , apenas trocando o termo independente, fornece a mesma derivada f x = x 2 - x + 7 .

Beleza?

Passo 4

Letra (c): por fim o problema pede para calcularmos uma primitiva em especial, uma que satisfaça a condição

F 3 = 5

Então, pegando a primitiva geral do passo anterior:

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + C

Agora precisamos que essa função satisfaça que F 3 = 5 , então basta substituir x = 3 e F = 5 e teremos uma equação para C :

5 = 3 3 3 - 3 2 2 + 7.3 + C

5 = 9 - 9 2 + 21 + C

5 = 9 2 + 21 + C

C = 5 - 9 2 - 21 = 10 - 9 - 42 2 = - 41 2

Pronto! A primitiva que dá a função ( f ( x ) ) e que satisfaz F 3 = 5 é

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x - 41 2

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

a ) F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + 1

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 - 1

F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + 3

b ) F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x + C

c ) F x = x 3 3 - x 2 2 + 7 x - 41 2

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