Exercícios Resolvidos de Primitivas

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial:

y ' = 1 x 2 - 1 x 3 y 1 = 3 2

Passo 1

Reescrever a derivada como potências de x

Beleza, vamos começar. A questão pede pra gente y x mas a gente tem y ' x . Como obter y x então? Bem, se a integral é a operação inversa da derivada, vamos ter que:

∫ f ' x d x = f x + C

A constante C a gente vai definir usando a informação que o enunciado deu de um ponto que y x passa, beleza? Então nem se preocupa com ele agora. Agora, vamos pensar em reescrever a derivada de forma que fiquem explícitas potências de x . Partiu então:

y ' x = 1 x 2 - 1 x 3 = x - 2 - x - 3

Passo 2

Resolver a integral

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? Vê se você lembra dessa regrinha de integrais:

∫ a t b d x = a t b + 1 b + 1 + C   ,     b ∈ Z ,     b ≠ - 1

Vamos ter então:

∫ y ' x d x = ∫ x - 2 - x - 3 d x =   x - 2 + 1 - 2 + 1 -   x - 3 + 1 - 3 + 1

∫ y ' x d x = - x - 1 +   x - 2 2 =   - 2 x - 1 + x - 2 2 + C

Opa, fechamos a integral. Nossa função original vai ser então:

y x = - 2 x - 1 + x - 2 2 + C

Passo 3

Achar o valor de C

E pra fechar com chave de ouro, só substituir onde tem x por 1 e onde tem y por 3 2 já que a função passa nesse ponto. Vamos lá?

y 1 = 3 2 = - 2 . 1 - 1 + 1 - 2 2 + C

3 2 = - 2 + 1 2 + C

C = 2

Resposta

y x = - 2 x - 1 + x - 2 2 + 2

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