Uma barra condutora de comprimento L   =   0,50   m pode deslizar sem atrito sobre trilhos horizontais condutores. A barra e os trilhos possuem resistência desprezível, mas há resistências R 1 = 1,0   Ω e R 2 = 1,5   Ω nos lados do circuito paralelos à barra. Em toda a região, atua um campo magnético uniforme e constante de módulo B = 3,0   T dirigido para dentro da folha de papel. Considere que a barra seja movimentada por um agente externo e que sua posição x em função do tempo t seja dada por x ( t ) = 1,0   – 0,50   t + 2,5   t 2 [unidades SI].

a) (1,0) Para o instante t   =   0,50   s , calcule a corrente total I ao longo da barra e indique seu sentido (para cima ou para baixo).

De acordo com a nova figura, um novo circuito é montado com as mesmas resistências R 1 = 1,0   Ω e R 2 = 1,5   Ω , com trilhos horizontais sem atrito e duas barras condutoras de comprimentos L 1 = 0,50   m   e L 2 = 0 , 8 0   m   que podem ser movimentadas de modo independente. Trilhos e barras possuem resistência nula. Em cada malha, atua um campo magnético uniforme diferente, de módulos B 1 e B 2 , dirigidos para dentro da folha.

b) (1,0) Considerando v 2   =   0 (barra 2 imóvel) e B 1   =   3,0   T , calcule a velocidade constante v 1 que a barra 1 deve possuir e indique seu sentido (para direita ou para esquerda) para que a corrente no trecho PQ possua valor I 1   =   2,0   A e sentido de Q para P.

c) (1,0) Considerando B 1   =   3,0   T e B 2   =   5,0   T , calcule o módulo da razão v 2 / v 1   entre as velocidades das barras (ambas constantes) para que a corrente total no trecho PQ seja nula. Para esta condição, responda, também, se as velocidades devem ter o mesmo sentido ou sentidos contrários.

Passo 1

Cara... Veja bem... Temos nesse problema duas espiras retangulares separadas pela barra (espira esquerda e direita):

Só que aí de repente a Barra começa a se locomover com velocidade v para um dos sentidos (direita ou esquerda). De qualquer modo, as áreas das duas espiras vão mudar de modo a gerar uma variação no fluxo do campo elétrico que atravessa as duas espiras (por um lado a quantidade de campo elétrico atravessando aumenta e por outro diminui). De acordo com a Lei de Faraday, essa variação de fluxo magnético ϕ B produz f e m   ε sobre as espiras.

Bem... A f e m pode então ser encontrada fazendo...

ε = - d ϕ B d t

Daí... Dada a f e m sobre uma espira (digamos a f e m da espira esquerda), basta dividir essa f e m pela resistência para se obtiver a corrente I e s q u e r d a :

I e s q u e r d a = ε e s q u e r d a R 1

“AHHH! Mas a gente vai ter que necessariamente determinar o fluxo ϕ B primeiro?”

A ótima notícia que eu tenho para te dar é que não! Existe um Bizu para se obter essa f e m ! Vamos ver isso na prática?

Passo 2

L e t r a   A :

POW! A forma de se calcular f e m sem ter que necessariamente calcular um fluxo, é se lembrando de que para uma espira retangular podemos sempre usar a fórmula prontinha...

ε = B L v

Veja que já temos o valor de B = 3,0   T e L = 0,50   T . Ta faltando só encontrar mesmo a velocidade v nas duas espiras!

O problema nos informou que a espira tem posição em função do tempo dada por...

x ( t ) = 1,0   – 0,50   t + 2,5   t 2

ORA! A velocidade é a derivada da posição! Então...

v = d x d t   →

v = – 0,50 + 2 ⋅ 2,5   t   →

v = 5   t - 0,5

Então... A velocidade da barra então no tempo t = 0,5 s ...

v 0,5 = 5   0,5 - 0,5   →

v 0,5 = 2   m / s

OPA!!! Velocidade positiva? Isso só pode significar que a barra está se movendo para a direita!

Então, as duas espiras, direita e esquerda vão possuir a mesma f e m (o motivo é porque elas estão em série)...

ε = B L v     →

ε = 3 0,5 2   →

ε = 3   V

Então com isso podemos buscar a corrente em cada espira e depois somar para saber a corrente total que passa no trilho. Bora?

Passo 3

CALCULANDO A CORRENTE CIRCULANDO NA ESPIRA ESQUERDA:

A espira a esquerda tem R 1 = 1,0   Ω , então...

I e s q u e r d a = ε R 1   →

I e s q u e r d a = 3 1 = 3 A

Agora, a corrente tem que estar girando no sentido anti-horário nessa bobina:

Agora, porque que isso está acontecendo?

Pela Lei de Lenz! A Lei de Lenz nos fala que a corrente que surge sempre deve possuir um campo magnético induzido de modo a se opor a variação do fluxo do campo externo.

Então veja bem, fixando a atenção na espira esquerda, veja que a medida que a barra vai para a esquerda terá mais campo magnético entrando na espira. Então, pela Lei de Lenz, o campo da corrente I tem que ter sentido oposto, ou seja, saindo da tela. E pela Regra da mão direita isso só acontece quando a corrente I e s q u e r d a gira no sentido anti-horário, saca?

CALCULANDO A CORRENTE CIRCULANDO NA ESPIRA DIREITA:

A espira a direita tem R 2 = 1,5   Ω , então...

I d i r e i t a = ε R 2   →

I d i r e i t a = 3 1,5 = 2 A

Agora, a corrente tem que estar girando no sentido horário nessa bobina:

E o motivo é que desse lado, a quantidade de campo externo entrando se reduz, então a corrente I d i r e i t a pela Lei de Lenz tem que girar no sentido horário de modo a produzir um campo entrando “ajudando” o campo externo a manter o fluxo de campo saindo, saca?

RESUMINDO

Então, a corrente que passa pelo trilho será...

I = I e s q u e r d a + I d i r e i t a   →

I = 3 + 2   →

I = 5 A

E ela deve estar subindo no trilho para se dividir nas correntes I e s q u e r d a   e I d i r e i t a .

Passo 4

L e t r a   B :

Bem... Nesse problema daqui de modo análogo ao anterior vamos agora trabalhar com esse circuito aqui...

Considerando a espira 2 parada, queremos saber qual deve ser a velocidade na barra 1 para a corrente indo de Q para P na espira de cima.

Ora... Como vimos no passo anterior, para uma espira retangular, a f e m induzida é dada por...

ε 1 = B 1 L 1 v 1

E a corrente girando na espira então é dada por...

I 1 = B 1 L 1 v 1 R 1

Isolando v 1 ...

v 1 = R 1 I 1 B 1 L 1

A corrente vale 2 A e os outros caras já forma dados no problema, então...

v 1 = 1 2 3 0,5 = 4 3 m / s

Agora surge a pergunta, para que lado o trilho 1 está caminhando?

Passo 5

POW! Sabemos que a corrente que I 1 gira na espira 1 de modo a atravessar de Q para P . Isso significa que a corrente está gerando um fluxo induzido de campo magnético que está entrando na região 1 de modo a ajudar o campo externo...

No passo 3 , vimos que isso só acontece quando o fluxo externo de B → 1 está diminuindo e o então o fluxo produzido pela corrente tende a ajudar a manter o externo intacto. Para o fluxo estar diminuindo, concluímos que a barra tem que movimentar para a esquerda.

Passo 6

L e t r a   C :

POW! Imagine você que existe ainda uma corrente I 1 para a esquerda em P → Q , causada pela variação da barra 1 ...

Para zerarmos essa corrente I 1 temos que passar outra corrente de mesmo módulo no sentido contrário...

O que só acontece se ambas as barras se movimentarem no mesmo sentido, já que ambos os campos são para dentro.

Agora, como a gente encontra a razão v 2 / v 1 ?

Passo 7

Bem... Sabemos que ambas correntes ( I 1 e I 2 ) devem ser iguais...

I 1 = I 2

A corrente I 1 = ε 1 R 1 ...

ε 1 R 1 = ε 2 R 2   →

A f e m por sua vez pode ser determinada por...

B 1 L 1 v 1 R 1 = B 2 L 2 v 2 R 2   →

Então...

v 2 v 1 = R 2 B 1 L 1 R 1 B 2 L 2   →

v 2 v 1 = 1,5 3 0,5 5 0,8   →

v 2 v 1 = 9 16

Resposta

Letra A:

I = 5 A         ( s u b i n d o )

Letra B:

v 1 = 4 3 m s         ( E s q u e r d a )            

Letra C:

v 2 v 1 = 9 16

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