Um núcleo toroidal de madeira, de seção reta quadrada, possui um raio interno de 10   c m e um raio externo de 12   c m . Em torno do núcleo é enrolada uma série de espiras. O fio tem 1,0   m m de diâmetro e uma resistência de 0,020   Ω / m . Determine (a) a indutância e (b) a constante de tempo indutiva do conjunto. Ignore a espessura do isolamento do fio.

Passo 1

Vamos adotar a seguinte notação para o problema: h é a altura do núcleo toroidal, a é o raio interno e b é o raio externo. Com a seção reta é quadrada, h = b - a . Assim, podemos calcular o fluxo e a indutância:

ϕ B = ∫ a b B d A = ∫ a b μ o N i 2 π r h d r

ϕ B = μ o N i h 2 π ln ⁡ b a

L = N ϕ B i

L = μ o N 2 h 2 π ln ⁡ b a

Como a circunferência interna do núcleo é l = 2 π a = 2 π 10   c m ≈ 62,8 c m , o número de espiras é N = 62,8 1,0   m m = 628 . Assim,

L = μ o N 2 h 2 π ln ⁡ b a

L = 4 π × 10 - 7 H m 628 2 0,02 m 2 π ln ⁡ 12 10

L = 2,9 × 10 - 4   H = 0,29   m H

Passo 2

Como o perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o lado, o comprimento total do fio é l = 628 4 2,0   c m = 50   m e a resistência do fio é

R = 50   m 0,02 Ω m = 1,0   Ω

Resposta

  1. L = 0,29   m H ;
  2. R = 1,0   Ω .

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