2a) Calcule os limites abaixo ou prove que não existe (sem usar a Regra de L'Hospital).

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2

Passo 1

Ó, todo limite sempre se resolve primeiro substituindo e vendo o que aconte, tranquilo? Então é exatamente isso que vamos fazer:

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 = - 2 2 + 12 - 4 - 2 + 2 = 4 + 12 - 4 0 = 16 - 4 0 = 4 - 4 0 = 0 0

Eita! Deu uma indeterminação! Vamos precisar sumir com ela antes de continuar. Uma boa primeira ideia seria olhar no fundo dos olhos desse limite e perceber: pô, eu posso sumir com essa raiz do numerador né? Claro! Basta multiplicar pelo conjugado:

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 = lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 ∙ x 2 + 12 + 4 x 2 + 12 + 4 =

= lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 16 x + 2 x 2 + 12 + 4 = lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 x + 2 x 2 + 12 + 4

Será que agora vai? Substituindo de novo:

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 x + 2 x 2 + 12 + 4 = - 2 2 - 4 - 2 + 2 - 2 2 + 12 + 4 = 0 0

Po, de novo? É galera, tem jeito não, vamos precisar manipular um pouquinho mais

Passo 2

Dessa vez vou pedir pra você ficar de olho no numerador todo e não em parte dele. Cara, x 2 - 4 é uma diferença de quadrados! Então dá pra eu usar produtos notáveis pra reescrever:

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 x + 2 x 2 + 12 + 4 = lim x → - 2 ⁡ x + 2 x - 2 x + 2 x 2 + 12 + 4 = lim x → - 2 ⁡ x - 2 x 2 + 12 + 4

Agora deve ir em! Substituindo:

lim x → - 2 ⁡ x - 2 x 2 + 12 + 4 = - 2 - 2 - 2 2 + 12 + 4 = - 4 4 + 12 + 4 = - 4 16 + 4 = - 4 4 + 4 = - 4 8 = - 1 2

E taí! O limite vai ser:

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 = - 1 2

Resposta

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x + 2 = - 1 2

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