Calcule os limites:

b) lim x → ∞ ⁡ ( x - x 2 + 7 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um limite e pediu pra gente calcular ele. Em outras palavras, ele quer saber o que acontece com a função x - x 2 + 7 quando x tende a infinito ( ). Mas o quê que isso quer dizer?

Quer dizer que quanto mais x vai se aproximando de , se esse limite existir, então a função vai se aproximando de um valor. E qual valor é esse?

É isso que nós vamos descobrir!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x → ∞ ⁡ ( x - x 2 + 7 )

Como é que a gente pode calcular o limite dessa função? Bom, se eu substituir o infinito no lugar do x , vai ficar assim:

lim x → ∞ ⁡ ( ∞ - ∞ 2 + 7 )

E isso não nos leva a lugar nenhum, porque como x é muito grande e x 2 + 7 , nesse caso, fica difícil saber o que acontece se eu subtrair um do outro. Além disso, infinito não é um número, então não podemos definir ∞ - ∞ . Beleza, então o que eu faço?

A gente pode tentar reescrever essa função pra sair dessa indeterminação. Uma forma de fazer isso é multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do radical, que é isso aqui:

x + x 2 + 7 x + x 2 + 7

Que é como se eu tivesse multiplicando por 1 , concorda? Então não altera a função.

Passo 3

Aplicando no limite, nós temos:

lim x → ∞ ⁡ ( x - x 2 + 7 ) ∙ x + x 2 + 7 x + x 2 + 7

Multiplicando termo a termo:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x x 2 + 7 - x x 2 + 7 - x 2 + 7 2 x + x 2 + 7

Simplificando:

lim x → ∞ ⁡ x 2 - x 2 + 7 2 x + x 2 + 7 = lim x → ∞ ⁡ x 2 - x 2 - 7 x + x 2 + 7 = lim x → ∞ ⁡ - 7 x + x 2 + 7

Agora, pra tentar substituir o limite, a gente sempre pode tentar dividir todo mundo pela maior potência do denominador. A nossa maior potência seria x 2 , mas ela tá dentro da raiz, então:

x 2 = x

Então, nós vamos dividir todo mundo por x e aplicar o limite. Olha só:

lim x → ∞ ⁡ - 7 x + x 2 + 7 = lim x → ∞ ⁡ - 7 x x x + x 2 + 7 x

Como x 2 = x , a gente pode jogar a segunda parte do denominador na mesma raiz:

lim x → ∞ ⁡ - 7 x x x + x 2 + 7 x 2 = lim x → ∞ ⁡ - 7 x x x + x 2 + 7 x 2 = lim x → ∞ ⁡ - 7 x x x + x 2 x 2 + 7 x 2

Simplificando:

= lim x → ∞ ⁡ - 7 x 1 + 1 + 7 x 2

Agora substituindo no lugar do x :

lim x → ∞ ⁡ - 7 ∞ 1 + 1 + 7 ∞ 2

Sempre que a gente tiver um número dividido por , a gente pode dizer que essa divisão se aproxima muito de zero, tanto quanto quisermos, então podemos escrever:

lim x → ∞ ⁡ - 7 ∞ 1 + 1 + 7 ∞ 2 = 0 1 + 1 + 0

= 0 1 + 1

= 0 1 + 1 = 0 2 = 0

E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

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