Calcule os limites abaixo (sem usar L’Hopital).

a ) lim x → ∞ ⁡ x - x + 2

Passo 1

Fala aí galera! Tudo bem com vocês?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:

lim x → �� ⁡ x - x + 2

Mas, ainda que ele se encaixasse na regra de L’hopital, não podemos utilizá-la. Beleza?

Bom, a etapa inicial em qualquer limite é sempre buscar substituir o valor que x está tendendo dentro da nossa função pra ver se temos alguma indeterminação matemática ou se já conseguimos determinar o valor do limite.

Assim:

lim x → ∞ ⁡ x - x + 2 = ∞ - ∞

Pois, tanto x como x + 2 tendem a infinito quando x → ∞ . Sacaram?

Será que podemos dizer que:

∞ - ∞ = 0

Nãoooo!! Ainda que esse limite realmente dê zero, não podemos fazer operações entre limites como se eles fossem um número comum, beleza?

A ideia aqui então é mudar a cara desse limite pra sair dessa subtração vacilona haha.

Vem comigo que vamos ver bem direitinho como usar um truque truqento nesse limite 😊

Passo 2

Bom, queremos mudar a cara do limite:

lim x → ∞ ⁡ x - x + 2

Basicamente, queremos que a expressão deixe de ser ∞ - ∞ .

Uma ideia interessante quando falamos de raízes é tentar colocar tudo em uma fração, usando a ideia da racionalização: multiplicar pelo conjugado.

Assim, podemos dizer que:

x - x + 2 = x - x + 2 ⋅ x + x + 2 x + x + 2

No numerador vamos ter o produto notável da diferença de quadrados, daí ficamos com:

x - x + 2 ⋅ x + x + 2 = x 2 - x + 2 2

= x - x + 2

=   - 2

Olha que legal! Sumimos com o x do numerador.

Logo:

x - x + 2 ⋅ x + x + 2 x + x + 2 = - 2 x + x + 2

Excelente! Substituindo de volta no limite, teremos:

lim x → ∞ ⁡ x - x + 2 = lim x → ∞ ⁡ - 2 x + x + 2

Mas olha que massa! Nessa expressão, quando substituímos x por infinito, ficamos com algo do tipo:

lim x → ∞ ⁡ - 2 x + x + 2 = - 2 ∞

= 0

Logo, concluímos que:

lim x → ∞ ⁡ x - x + 2 = 0

E aí, conseguiram entender? Responde Aí 😉

Resposta

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