Exercícios Resolvidos de Conjugado

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Enunciado

Calcule o limite ou explique porque não existe.

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x

Passo 1

Olha, se substituirmos esse limite caímos numa indeterminação, ou seja, não temos sabermos para onde o limite vai:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = ∞ - ∞

= ∞ - ∞

Agora precisamos determinar esse limite!

Passo 2

Agora devemos pensar numa maneira de resolver algebricamente. Uma boa ideia seria eliminar as raízes que estão em subtração. Como o limite envolve raízes quadradas, podemos usar o seguinte produto notável, envolvendo quadrados:

a - b a + b = a 2 - b 2

Com a = x 2 + x 3 + 1 3 e b = x 2 - 2 x .

Assim, fica multiplicado em cima e embaixo o termo ( a + b ) :

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

Agora vamos resolver esse limite!

Passo 3

Repara que temos um polinômio em cima e um embaixo. Como o x → - ∞ , podemos resolver o limite analisando o grau de cada polinômio. Para isso, vamos olhar o maior grau em cima e embaixo e colocar em evidência. Reescrevendo ficamos assim,

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Fica atento quando você tirar um x 2 de dentro de uma raiz (de baixo), não vai ficar x , vai ficar x , isso vem da própria definição de raiz quadrada.

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Passo 4

O módulo de x pode ser aberto por:

x = - x ,     x < 0 x ,     x ≥ 0

Como ele quer x → - ∞ , vamos ter

x = - x

E nosso limite vai ficar

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 - x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 + 1 x 3 3 + 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

= - 1 + 0 3 + 2 1 + 0 + 0 3 + 1 - 0

= - 1 + 2 1 + 1

= - 3 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = - 3 2

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