Q01I) Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 x 2

Passo 1

Bem, pra começar, sempre temos que substituir o limite e ver o que acontece. Vai que não cai em indeterminação? Então vamos lá:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 x 2 = 1 + 0 2 - 1 - 0 2 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0

É, não foi hoje. Caimos sim numa indeterminação. Não tem jeito, vamos ter que manipular pra sair dela. Uma boa estratégia é o seguinte: ta vendo que tenho polinômios dentro de raiz? E se eu tirasse eles da raiz? Saca só:

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 x 2 ∙ 1 + x 2 + 1 - x 2 1 + x 2 + 1 - x 2

Mudar assim a função dentro do limite não atrapalha a gente porque estamos multiplicando em cima e em baixo, viu? É como se tivéssemos multiplicando por 1 . Continuando a manipulação, ficamos com:

= lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 x 2 1 + x 2 + 1 - x 2 = lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 + x 2 x 2 1 + x 2 + 1 - x 2 =

= lim x → 0 ⁡ 2 x 2 x 2 1 + x 2 + 1 - x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 1 + x 2 + 1 - x 2

Agora sim a indeterminação saiu! Quer ver? Saca só:

lim x → 0 ⁡ 2 1 + x 2 + 1 - x 2 = 2 1 + 0 2 + 1 - 0 2 = 2 1 + 1 = 2 2 = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + x 2 - 1 - x 2 x 2 = 1

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