6 - Algumas indeterminações do tipo 0 0 podem ser resolvidas usando-se o artifício de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de um deles, conforme o exemplo abaixo

lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 =   lim x → 4 ⁡ x - 2 ∙ x + 2 x - 4 ∙ ( x + 2 ) =     lim x → 4 ⁡ x - 4 x - 4 ∙ ( x + 2 ) =   lim x → 4 ⁡ 1 ( x + 2 ) = 1 4

Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.

c) lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) x 2

Passo 1

Eaíí, pessoal!!! Tudo bem? Vamos juntos resolver essa questão?

Para começar, nessa questão um ponto tópico importante é saber achar o conjugado do numerador ou do denominador. A pergunta que aparece agora é “como saber qual conjugado escolher?”. E a resposta para essa pergunta é simples: escolha o que for mais conveniente aos cálculos, ou seja, escolha o que mais facilitar as contas futuras.

É bem comum escolhermos o conjugado de expressões que possuem raízes, pois, assim, de cara já eliminamos um elemento que pode causar dor de cabeça mais à frente.

Para obtermos o conjugado de uma expressão com dois termos precisamos apenas trocar o sinal da operação entre eles pelo sinal da operação oposta, ou seja, se for ‘+’ trocamos por ‘-‘ e vice-versa.

Agora que revisamos, vamos para a questão em si.

Passo 2

Vamos entaõ para a letra c.

Aqui, além do conceito de conjugado vamos precisar relembrar o limite trigonométrico fundamental e a relação fundamental trigonométrica.

O limite trigonométrico fundamental é lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x = 1 .

A relação fundamental trigonométrica é [ s e n x ] 2 +   [ c o s ⁡ ( x ) ] 2 = 1 .

Com isso em mente, e sabendo que o conjugado de 1 - c o s ⁡ ( x ) é 1 + c o s ⁡ ( x ) , calculamos.

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) x 2 =   lim x → 0 ⁡ ( 1 - c o s ⁡ ( x ) ) ( 1 + cos ⁡ x ) x 2 ( 1 + cos ⁡ x ) =   lim x → 0 ⁡ 1 - [ c o s ⁡ ( x ) ] 2 x 2 ( 1 + cos ⁡ x ) =   lim x → 0 ⁡ [ s e n ⁡ ( x ) ] 2 x 2 ( 1 + cos ⁡ x ) =   lim x → 0 ⁡ [ s e n ⁡ ( x ) ] x 2 ∙   lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x =   1 ∙ 1 2 = 1 2

Essa questão, apesar de no início parecer complicada, pois quando usamos o conjugado não é possível realizar uma simplificação direta, no fundo só exige que relembremos alguns conceitos simples pra resovê-la.

Resposta

c) 1 2

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Calcule o limite, se existir.27) lim x → 9 ⁡ x ² - 81 x - 3 ²
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Calcule o limite, se existir.underset(h - 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)