1. Calcule o limite, se existir

i. lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 - 3 x - 2 - 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 - 3 x - 2 - 2

A gente sempre começa substituindo o valor na função, fica assim:

lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 - 3 x - 2 - 2 = 2 4 + 1 - 3 4 - 2 - 2 = 0 0

Eitaaa, caímos numa indeterminação do tipo 0 0 .

Mas repara que temos tanto no numerador, como denominador, uma raíz subtraindo uma constante. Quando isso acontecer a dica é multiplicar pelo conjugado.

Mas quem é esse conjugado? É exatamente o mesmo termo, só que trocando o sinal da constante. Ou seja, o conjugado de 2 x + 1 - 3 é 2 x + 1 + 3 .

E o conjugado de x - 2 - 2 é x - 2 + 2 .

Bora sair dessa!

Passo 2

Como temos a mesma situação no numerador e denominador, vamos mutiplicar pelos dois conjugados em cima e embaixo. Fica assim:

lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 - 3 x - 2 - 2 . 2 x + 1 + 3 2 x + 1 + 3 . x - 2 + 2 x - 2 + 2

Agora vamos fazer a distribuitiva do numerador e do denominador com os seus respectivos conjugados. E deixa o resto ali de lado por enquanto.

lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 + 3 2 x + 1 - 3 2 x + 1 - 9 x - 2 + 2 x - 2 - 2 x - 2 - 2 . x - 2 + 2 2 x + 1 + 3

Simplificando, ficamos com

lim x → 4 ⁡ 2 x - 8 x - 4 . x - 2 + 2 2 x + 1 + 3

Mas repara que se formos calcular o limite agora, vamos cair na mesma indeterminação 0 0 . Então vamos mexer mais um pouco na função.

Passo 3

Repara que podemos colocar o 2 em evidência no numerador da primeira fração:

lim x → 4 ⁡ 2 x - 8 x - 4 . x - 2 + 2 2 x + 1 + 3 = lim x → 4 ⁡ 2 x - 4 x - 4 . x - 2 + 2 2 x + 1 + 3

Agora podemos cortar o x - 4 ,

lim x → 4 ⁡ 2 x - 2 + 2 2 x + 1 + 3

Esse limite ficou diferentão, mas ele ainda é igual e agora a gente pode fazer x = 4 pra calcular o limite

lim x → 4 ⁡ 2 x - 2 + 2 2 x + 1 + 3 = 2 4 - 2 + 2 2 4 + 1 + 3 = 4 2 6 = 2 2 3

Prontinho!

Resposta

2 2 3

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