Calcule o limite, se existir,

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9   - 5 x + 4

Passo 1

Falaaaaa, blz? Bora lá para segunda questãozinha dessa prova.

Esse problema é clássico, nosso objetivo aqui é tentar achar uma forma de resolver esse limite. Para isso, vamos notar que o grande problema dele é o denominador. Pois se colocarmos x = - 4 teremos problema no denominador (seria zero).

Ou seja, nosso foco é fazer algo na expressão para que possamos colocar o valor de x = - 4 sem problemas.

Nessa questão não temos muito o que fazer diretamente no denominador, não há muitas possibilidades de mexer/fatorar x + 4 de forma que mude a expressão, ou seja, o que nos resta é ver o que podemos fazer no numerador.

Quando vemos algo do tipo a + b é natural multiplicarmos por a - b a - b   para racionalizar. Bora fazer isso e ver o que acontece?

Passo 2

Vamos racionalizar o numerador dessa expressão:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9   - 5 x + 4 =   lim x → - 4 ⁡ ( x 2 + 9   - 5 ) ( x 2 + 9   + 5 ) ( x + 4 ) ( x 2 + 9   + 5 )

A grande motivação de fazer isso é usar a seguinte fatoração:

a - b a + b = a 2 - b 2

Usando isso no numerador:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9   - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ ( x 2 + 9 ) - 25 ( x + 4 ) ( x 2 + 9   + 5 )

Ou seja:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9   - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ ( x 2 - 16 ) ( x + 4 ) ( x 2 + 9   + 5 )

Agora ocorre algo maneiro, está enxergando??

Veja que podemos usar a mesma fatoração de antes, no numerador, pois temos algo do tipo a 2 - b 2 , bora fazer isso:

= lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( x - 4 ) ( x + 4 ) ( x 2 + 9   + 5 )

Nesse momento a gente agradece por ter dado certo, pois podemos cortar o ( x + 4 ) e o grande problema da questão some, pois substituir x = - 4 agora não será problema.

Passo 3

E por isso, temos que:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9   - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( x - 4 ) ( x + 4 ) ( x 2 + 9   + 5 ) =

= lim x → - 4 ⁡ ( x - 4 ) ( x 2 + 9   + 5 )  

E agora podemos fazer x = - 4

Dai, temos que:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9   - 5 x + 4 = - 4 - 4 - 4 2 + 9 + 5 = - 8 10

E agora chegamos na resposta, temos que lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9   - 5 x + 4 =   - 4 5

Resposta

- 4 5

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