Determine a sabendo que

l i m x → ∞ = x 2 + a x - x 2 + 12 x = 2

Passo 1

Um primeiro passo antes de tentarmos fazer qualquer rearranjo, é aplicar direto o limite que é dado na questão.

l i m x → ∞ = x 2 + a x - x 2 + 12 x = ∞ - ∞

Opa, deu indeterminação!! Porque a gente não sabe qual infinito crescerá mais rápido que o outro, então vamos ter que fazer umas mágicas aí! Haha

Se ligou que apareceu uma raiz menos uma outra coisa, certo? Isso é um indicativo de que vamos ter que usar nossa estratégia de multiplicar pelo conjugado. Vem comigo que te mostro!

Passo 2

Bora então fazer esse paranauê!

x 2 + a x - x 2 + 12 x × x 2 + a x + x 2 + 12 x x 2 + a x + x 2 + 12 x

x 2 + a x - x 2 + a x × x 2 + 12 x + x 2 + 12 x × x 2 + a x - x 2 + 12 x x 2 1 + a x + x 2 1 + 12 x =

x 2 + a x - ( x 2 + 12 x ) x 1 + a x + 1 + 12 x = x a - 12 x 1 + a x + 1 + 12 x = a - 12 1 + a x + 1 + 12 x

Opa, chegamos em alguma coisa né? haha

Isso quer dizer que depois que aplicamos a nossa estratégia, temos que:

x 2 + a x - x 2 + 12 x = a - 12 1 + a x + 1 + 12 x

Agora vamos aplicar o limite de x → ∞

Passo 3

Bora então fazer esse paranauê!

lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + 12 x = lim x → ∞ ⁡ a - 12 1 + a x + 1 + 12 x

E a gente sabe que o lado esquerdo da igualdade de acordo com o enunciado é igual a 2, certo?

lim x → ∞ ⁡ a - 12 1 + a x + 1 + 12 x = 2

Agora vamos aplicar o limite de x → ∞ e ao final vamos ter que:

a - 12 1 + 0 + 1 + 0 = 2

a - 12 2 = 2

a = 16

Resposta

a = 16

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Calcule o limite, se existir.underset(h - 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)